Задание №1. Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение б (Χ). X P -1 0,1 -2 0,1 -3 0,1 -10 0,09 -12 0,3 -20 0,009 -30 0,3 -40 0,001 2. В таблице дано распределение случайной величины Х. Чему равно D(X)? Значение 1 2 3 4 5 6 7 8 Вероятность 0,16 0,19 0,02 0,06 0,11 0,06 0,15 0,25

Решение:

Для дискретной случайной величины математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле:

\[M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\]

где xᵢ — значения случайной величины, а pᵢ — соответствующие вероятности.

В нашем случае:

M(X) = (-1 \cdot 0.1) + (-2 \cdot 0.1) + (-3 \cdot 0.1) + (-10 \cdot 0.09) + (-12 \cdot 0.3) + (-20 \cdot 0.009) + (-30 \cdot 0.3) + (-40 \cdot 0.001)

M(X) = -0.1 - 0.2 - 0.3 - 0.9 - 3.6 - 0.18 - 9 - 0.04 = -14.32

Дисперсия D(X) вычисляется по формуле:

\[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\]

Сначала найдем M(X²):

M(X²) = ((-1)² \cdot 0.1) + ((-2)² \cdot 0.1) + ((-3)² \cdot 0.1) + ((-10)² \cdot 0.09) + ((-12)² \cdot 0.3) + ((-20)² \cdot 0.009) + ((-30)² \cdot 0.3) + ((-40)² \cdot 0.001)

M(X²) = (1 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.1) + (9 \cdot 0.1) + (100 \cdot 0.09) + (144 \cdot 0.3) + (400 \cdot 0.009) + (900 \cdot 0.3) + (1600 \cdot 0.001)

M(X²) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 9 + 43.2 + 3.6 + 270 + 1.6 = 328.8

Теперь найдем D(X):

D(X) = 328.8 - (-14.32)²

D(X) = 328.8 - 205.0624

D(X) = 123.7376

Среднее квадратичное отклонение σ(X) равно квадратному корню из дисперсии:

\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\]

σ(X) = √123.7376 ≈ 11.1237

Ответ:

• Математическое ожидание: M(X) = -14.32
• Дисперсия: D(X) = 123.7376
• Среднее квадратичное отклонение: σ(X) ≈ 11.1237

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно подставил значения в формулы и внимательно выполнил арифметические действия.

Уровень Эксперт: Дисперсия показывает, насколько сильно разбросаны значения случайной величины относительно её математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.