Задание 17. Найдите наибольшее значение функции y = -4/3 * x * √x + 12x + 13 на отрезке [0; 36].

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции \(y = -\frac{4}{3}x\sqrt{x} + 12x + 13\).
   Представим функцию в виде \(y = -\frac{4}{3}x^{3/2} + 12x + 13\). Тогда производная будет:
   \[y' = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} + 12 = -2\sqrt{x} + 12\]
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения:
   \[-2\sqrt{x} + 12 = 0\]\[2\sqrt{x} = 12\]\[\sqrt{x} = 6\]\[x = 36\]
3. Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли корень отрезку [0; 36]. В данном случае, x = 36 принадлежит отрезку.
4. Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в найденной точке:
   Для x = 0:
   \[y(0) = -\frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + 12 \cdot 0 + 13 = 13\]
   Для x = 36:
   \[y(36) = -\frac{4}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} + 12 \cdot 36 + 13 = -\frac{4}{3} \cdot 36 \cdot 6 + 12 \cdot 36 + 13 = -288 + 432 + 13 = 157\]

Итог:
Сравниваем значения функции в точках 0 и 36: y(0) = 13, y(36) = 157.
Наибольшее значение функции равно 157.

Ответ: 157