Задание 63. Найдите отношение указанных отрезков. 1) AP:PC=2:5, BQ: QC=1:2 BM: MP

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Нам дано отношение отрезков AP:PC и BQ:QC, и нужно найти отношение BM:MP. Это классическая задача на применение теоремы Менелая или Чевы. Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему Менелая к треугольнику APC и прямой BQ. Теорема Менелая гласит, что для треугольника ABC и прямой, пересекающей его стороны (или их продолжения) в точках D, E, F, выполняется соотношение: \[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 \] В нашем случае это будет выглядеть так: \( \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1 \) Подставим известные значения: \( \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1 \) \( \frac{4}{5} \cdot \frac{BM}{MA} = 1 \) \( \frac{BM}{MA} = \frac{5}{4} \) Теперь нам нужно найти отношение BM:MP. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Чевы или методом площадей. Однако, чтобы упростить задачу, воспользуемся свойством пропорций: Из теоремы Менелая мы нашли, что BM/MA = 5/4. Это значит, что MA = (4/5)BM. Теперь рассмотрим треугольник ABM. Отношение AP:PC = 2:5, то есть AP = (2/7)AC. Теперь применим теорему Менелая к треугольнику ACP и прямой BQ, чтобы найти AM:MQ. Известно, что BQ:QC = 1:2, следовательно, CQ:BQ = 2:1. Теперь рассмотрим треугольник ABC и прямую, проходящую через точки P, Q, M. Тогда по теореме Менелая: \( \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1 \) \( \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{BM}{MA} = 1 \) \( \frac{BM}{MA} = \frac{5}{4} \) Теперь найдем BM:MP. Пусть BM = 5x, тогда MA = 4x. Рассмотрим треугольник AMC и секущую BP. По теореме Менелая для треугольника AMC и прямой BP: \( \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QM}{MA} = 1 \) \( \frac{AP}{PC} = \frac{2}{5}, \frac{CB}{BQ} = \frac{3}{1} \) \( \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{AM}{MP} = 1 \) \( \frac{6}{5} \cdot \frac{AP}{PC} = \frac{6}{5} \) AM = 4x, следовательно, \( \frac{MP}{AM} = \frac{6}{5} \) \( MP = \frac{5}{6}AM \) \( \frac{BM}{MP} = \frac{AM}{MP} = \frac{24}{5} \) \[\frac{BM}{MP} = \frac{6}{5}\] Теперь, давайте найдем \( \frac{BM}{MP} \): \( \frac{BM}{MP} = \frac{AM}{MP} = \frac{4x}{\frac{5}{6}(4x)} = \frac{6}{5} \) Таким образом, \(\frac{BM}{MP} = \frac{6}{5}\).

Ответ: 6/5

Ты молодец! У тебя всё получится! Давай двигаться дальше!