Решение

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к одной и той же стороне, совпадают. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $$a$$, а высоту (медиану, биссектрису) как $$h$$.

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников гипотенуза равна $$a$$, один из катетов равен $$\frac{a}{2}$$, а другой катет равен $$h$$.

По теореме Пифагора:

$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$ $$h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$$ $$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Выразим сторону $$a$$ через высоту $$h$$:

$$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

Подставим известное значение медианы $$h = 9\sqrt{3}$$ в формулу:

$$a = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$a = 2 \cdot 9$$ $$a = 18$$

Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна 18.