Задание 9. Найдите точку максимума функции ... 2) y=(x-6)2(x-3)+5; 4) y=(x+8)2(x-9)-7.

Решение задачи 2

• Дана функция: y=(x-6)²(x-3)+5.
• Найдем производную функции:

\[y' = ((x-6)^2(x-3) + 5)' = ((x^2 - 12x + 36)(x-3) + 5)' = (x^3 - 3x^2 - 12x^2 + 36x + 36x - 108 + 5)' = (x^3 - 15x^2 + 72x - 103)' = 3x^2 - 30x + 72\]

• Приравняем производную к нулю:

\[3x^2 - 30x + 72 = 0\] \[x^2 - 10x + 24 = 0\]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\] \[x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4\]

• Определим знаки производной на интервалах:
• x < 4: y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 30 \cdot 0 + 72 = 72 > 0
• 4 < x < 6: y'(5) = 3 \cdot 5^2 - 30 \cdot 5 + 72 = 75 - 150 + 72 = -3 < 0
• x > 6: y'(7) = 3 \cdot 7^2 - 30 \cdot 7 + 72 = 147 - 210 + 72 = 9 > 0

• Производная меняет знак с + на - в точке x=4, следовательно, это точка максимума.

Ответ: x=4 - точка максимума функции y=(x-6)²(x-3)+5

Решение задачи 4

• Дана функция: y=(x+8)²(x-9)-7.
• Найдем производную функции:

\[y' = ((x+8)^2(x-9) - 7)' = ((x^2 + 16x + 64)(x-9) - 7)' = (x^3 - 9x^2 + 16x^2 - 144x + 64x - 576 - 7)' = (x^3 + 7x^2 - 80x - 583)' = 3x^2 + 14x - 80\]

• Приравняем производную к нулю:

\[3x^2 + 14x - 80 = 0\]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-80) = 196 + 960 = 1156\] \[x_1 = \frac{-14 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 34}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33\] \[x_2 = \frac{-14 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 34}{6} = \frac{-48}{6} = -8\]

• Определим знаки производной на интервалах:
• x < -8: y'(-9) = 3 \cdot (-9)^2 + 14 \cdot (-9) - 80 = 243 - 126 - 80 = 37 > 0
• -8 < x < 3.33: y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 14 \cdot 0 - 80 = -80 < 0
• x > 3.33: y'(4) = 3 \cdot 4^2 + 14 \cdot 4 - 80 = 48 + 56 - 80 = 24 > 0

• Производная меняет знак с + на - в точке x=-8, следовательно, это точка максимума.

Ответ: x=-8 - точка максимума функции y=(x+8)²(x-9)-7