Задание 42. Найдите точку максимума функции y=(2x-3).cosx-2sinx+41, принадлежащую промежутку (0; (0;).

Для нахождения точки максимума функции на заданном промежутке, необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Определить, какие из этих точек лежат в заданном промежутке.
4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах промежутка.
5. Выбрать точку, в которой значение функции максимально.

Рассмотрим функцию $$y = (2x - 3)\cdot\cos(x) - 2\sin(x) + 41$$.

1. Найдем производную функции $$y'(x)$$.

Используем правило произведения: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

Производная первого слагаемого:$$((2x - 3)\cdot \cos(x))' = 2 \cdot \cos(x) + (2x - 3) \cdot (-\sin(x)) = 2\cos(x) - (2x - 3)\sin(x)$$.

Производная второго слагаемого: $$(-2\sin(x))' = -2\cos(x)$$.

Производная третьего слагаемого: $$(41)' = 0$$.

Итого, производная функции:$$y'(x) = 2\cos(x) - (2x - 3)\sin(x) - 2\cos(x) = -(2x - 3)\sin(x)$$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$$y'(x) = -(2x - 3)\sin(x) = 0$$.

Отсюда, либо $$2x - 3 = 0$$, либо $$\sin(x) = 0$$.

Если $$2x - 3 = 0$$, то $$x = \frac{3}{2} = 1.5$$.

Если $$\sin(x) = 0$$, то $$x = \pi n$$, где $$n$$ - целое число. В промежутке $$(0; \frac{\pi}{2})$$ нет решений, так как $$\pi \approx 3.14$$, а $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$. Значит, $$x = 0$$ и $$x = \pi$$ не принадлежат заданному интервалу.

3. Проверим, лежит ли критическая точка $$x = 1.5$$ в промежутке $$(0; \frac{\pi}{2})$$:

Так как $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$, то $$1.5 \in (0; \frac{\pi}{2})$$ .

4. Вычислим значение функции в критической точке $$x = 1.5$$.

$$y(1.5) = (2 \cdot 1.5 - 3)\cdot\cos(1.5) - 2\sin(1.5) + 41 = (3 - 3)\cdot\cos(1.5) - 2\sin(1.5) + 41 = -2\sin(1.5) + 41$$.

$$y(1.5) \approx -2 \cdot 0.997 + 41 \approx -1.994 + 41 \approx 39.006$$.

5. Найдем точку максимума. На концах интервала функция не определена.

Проверим знак производной слева и справа от точки $$x = 1.5$$:

Если $$x < 1.5$$, например, $$x = 1$$, то $$y'(1) = -(2 \cdot 1 - 3)\sin(1) = -(-1)\sin(1) = \sin(1) > 0$$.

Если $$x > 1.5$$, например, $$x = 1.55$$, то $$y'(1.55) = -(2 \cdot 1.55 - 3)\sin(1.55) = -(3.1 - 3)\sin(1.55) = -0.1\sin(1.55) < 0$$.

Следовательно, $$x = 1.5$$ - точка максимума.

Ответ: 1.5