Задание 10. Найдите точку минимума функции ... 4) y=(x+13)2(x-2)-9.

Пошаговое решение:

• Находим производную функции: \(y = (x + 13)^2(x - 2) - 9\)

Раскроем скобки: \(y = (x^2 + 26x + 169)(x - 2) - 9 = x^3 + 26x^2 + 169x - 2x^2 - 52x - 338 - 9 = x^3 + 24x^2 + 117x - 347\)

• Производная: \(y' = 3x^2 + 48x + 117\)

Приравняем производную к нулю: \(3x^2 + 48x + 117 = 0\)

• Упростим, разделив на 3: \(x^2 + 16x + 39 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 39 = 256 - 156 = 100\)

Корни: \(x_1 = \frac{-16 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-16 + 10}{2} = -3\)

\(x_2 = \frac{-16 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-16 - 10}{2} = -13\)

Теперь проверим знаки производной на интервалах:

• \(x < -13\): Например, \(x = -14\). Тогда \(y' = 3(-14)^2 + 48(-14) + 117 = 3(196) - 672 + 117 = 588 - 672 + 117 = 33 > 0\) (функция возрастает)
• \(-13 < x < -3\): Например, \(x = -4\). Тогда \(y' = 3(-4)^2 + 48(-4) + 117 = 3(16) - 192 + 117 = 48 - 192 + 117 = -27 < 0\) (функция убывает)
• \(x > -3\): Например, \(x = 0\). Тогда \(y' = 3(0)^2 + 48(0) + 117 = 117 > 0\) (функция возрастает)

Так как в точке \(x = -3\) производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: -3