Задание 21. Найдите точку минимума функции ... 2) y=-x/(x²+289); 4) y=-x/(x²+256); 6) y=-x/(x²+324)

Решение для функции 2) y=-x/(x²+289)

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = \frac{-(x^2 + 289) - (-x)(2x)}{(x^2 + 289)^2} = \frac{-x^2 - 289 + 2x^2}{(x^2 + 289)^2} = \frac{x^2 - 289}{(x^2 + 289)^2}\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[\frac{x^2 - 289}{(x^2 + 289)^2} = 0\]

\[x^2 - 289 = 0\]

\[x^2 = 289\]

\[x = \pm 17\]

• Шаг 3: Определяем знак производной в окрестности точек x = 17 и x = -17:

При x < -17, например x = -18, y' > 0 (функция возрастает).

При -17 < x < 17, например x = 0, y' < 0 (функция убывает).

При x > 17, например x = 18, y' > 0 (функция возрастает).

• Шаг 4: Определяем точку минимума:

В точке x = 17 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Ответ: x = 17

Решение для функции 4) y=-x/(x²+256)

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = \frac{-(x^2 + 256) - (-x)(2x)}{(x^2 + 256)^2} = \frac{-x^2 - 256 + 2x^2}{(x^2 + 256)^2} = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2}\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[\frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0\]

\[x^2 - 256 = 0\]

\[x^2 = 256\]

\[x = \pm 16\]

• Шаг 3: Определяем знак производной в окрестности точек x = 16 и x = -16:

При x < -16, например x = -17, y' > 0 (функция возрастает).

При -16 < x < 16, например x = 0, y' < 0 (функция убывает).

При x > 16, например x = 17, y' > 0 (функция возрастает).

• Шаг 4: Определяем точку минимума:

В точке x = 16 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Ответ: x = 16

Решение для функции 6) y=-x/(x²+324)

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = \frac{-(x^2 + 324) - (-x)(2x)}{(x^2 + 324)^2} = \frac{-x^2 - 324 + 2x^2}{(x^2 + 324)^2} = \frac{x^2 - 324}{(x^2 + 324)^2}\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[\frac{x^2 - 324}{(x^2 + 324)^2} = 0\]

\[x^2 - 324 = 0\]

\[x^2 = 324\]

\[x = \pm 18\]

• Шаг 3: Определяем знак производной в окрестности точек x = 18 и x = -18:

При x < -18, например x = -19, y' > 0 (функция возрастает).

При -18 < x < 18, например x = 0, y' < 0 (функция убывает).

При x > 18, например x = 19, y' > 0 (функция возрастает).

• Шаг 4: Определяем точку минимума:

В точке x = 18 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Ответ: x = 18