Задание 38. Найдите точку минимума функции y=(5−10x).cosx+10sinx+4, принадлежащую промежутку (0;2).

Для решения данного задания необходимо найти производную заданной функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение. Найденные корни сравнить с границами заданного промежутка и выбрать ту точку, в которой функция принимает минимальное значение.

1. Находим производную функции: $$y' = (5-10x)'\cdot\cos x + (5-10x)\cdot(-\sin x) + 10\cos x = -10\cos x - (5-10x)\sin x + 10\cos x = (10x-5)\sin x$$.
2. Приравниваем производную к нулю: $$(10x-5)\sin x = 0$$.
3. Решаем уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ \begin{cases} 10x-5 = 0 \\ \sin x = 0 \end{cases} $$

1. Решаем первое уравнение: $$10x - 5 = 0 \Rightarrow 10x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$.

2. Решаем второе уравнение: $$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$. В заданный промежуток входит только $$x = 0$$.
3. Проверяем значения функции на концах промежутка и в найденных точках:

$$y(0) = (5-10\cdot0)\cdot\cos 0 + 10\sin 0 + 4 = 5\cdot1 + 10\cdot0 + 4 = 9$$

$$y(\frac{\pi}{2}) = (5-10\cdot\frac{\pi}{2})\cdot\cos(\frac{\pi}{2}) + 10\sin(\frac{\pi}{2}) + 4 = (5 - 5\pi)\cdot0 + 10\cdot1 + 4 = 14$$

$$y(\frac{1}{2}) = (5-10\cdot\frac{1}{2})\cdot\cos(\frac{1}{2}) + 10\sin(\frac{1}{2}) + 4 = 0\cdot\cos(\frac{1}{2}) + 10\sin(\frac{1}{2}) + 4 = 10\sin(0.5) + 4 \approx 8.79$$

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $$x = \frac{1}{2}$$.

Ответ: 0.5