Задание 19. Найдите значение 1) \( log_{\sqrt{13}}13^{8} \); 2) \( 11^{3log_{11}6} \);

Решение:

1) \( log_{\sqrt{13}}13^{8} \) Смотри, тут всё просто: преобразуем основание логарифма: \( \sqrt{13} = 13^{\frac{1}{2}} \). Затем используем свойство логарифма, чтобы вынести показатель степени из основания и из аргумента: \[ log_{a^b}c^d = \frac{d}{b} log_{a}c \] Применяем это свойство к нашему примеру: \[ log_{13^{\frac{1}{2}}}13^{8} = \frac{8}{\frac{1}{2}} log_{13}13 = 8 \cdot 2 \cdot log_{13}13 = 16 \cdot 1 = 16\] 2) \( 11^{3log_{11}6} \) Разбираемся: сначала используем свойство степени логарифма: \( a^{blog_a c} = c^b \). Преобразуем выражение: \[ 11^{3log_{11}6} = 11^{log_{11}6^3} \] Затем используем основное логарифмическое тождество: \[ 11^{log_{11}6^3} = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \]

Ответ: 1) 16; 2) 216