Задание 2. Найти производные функций. 1. a) y = xtgx+lncosx+e5*;. 6) y = ex-arcsinx 2. a) y=ln+3x√x; 6) y = 2 arctgx-x x+1 1 3. a) y = x² + x arcsinx + √1-x2;: 6) y=2.5+-x 4 4. a) y = ln(x-1)²+3x²; 6) y = 2sinx. x+2 x² 5. a) y = ln + 4x√x; 6) y = (esinx +3x)3. x-1 x+1 6. a) y=x³ (3lnx-1)-; 6) y = (582x+3)4. e 7. a) y = ln (x+1)² +3x/x; 6) y = 5arcsinx In x+3 8. a) y=e**(5x-1)-21mx+1; 6) y = 4arctg-x 2 7 2 9. a) y = ln (x+1)²-4-x²; 6) y = 2sin.1x x-2 10. a) y = lnx-1+(e3x-7x°)(3x-1); 6) y = 300s 4x

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими заданиями на нахождение производных. Будем идти по порядку и все станет понятно.

1. a) \(y = xtgx + \ln(\cos x) + e^{5x}\)

Для нахождения производной этой функции, нужно взять производную каждого слагаемого по отдельности:

• Производная \(xtgx\): Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\). Здесь \(u = x\) и \(v = tgx\). Тогда \(u' = 1\) и \(v' = \frac{1}{\cos^2 x}\). Значит, \((xtgx)' = 1 \cdot tgx + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = tgx + \frac{x}{\cos^2 x}\)
• Производная \(\ln(\cos x)\): Используем правило цепочки: \((\ln(u))' = \frac{u'}{u}\). Здесь \(u = \cos x\), и \(u' = -\sin x\). Значит, \((\ln(\cos x))' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -tgx\)
• Производная \(e^{5x}\): Используем правило цепочки: \((e^{u})' = u'e^{u}\). Здесь \(u = 5x\), и \(u' = 5\). Значит, \((e^{5x})' = 5e^{5x}\)

Складываем все производные вместе:

\(y' = tgx + \frac{x}{\cos^2 x} - tgx + 5e^{5x} = \frac{x}{\cos^2 x} + 5e^{5x}\)

1. б) \(y = e^{x-\arcsin x}\)

Здесь также используем правило цепочки: \((e^{u})' = u'e^{u}\).

• \(u = x - \arcsin x\), тогда \(u' = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Значит, \(y' = (1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}})e^{x-\arcsin x}\)

2. a) \(y = \ln(\frac{x^2}{x+1}) + 3x\sqrt{x}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \(\ln(\frac{x^2}{x+1}) = \ln(x^2) - \ln(x+1) = 2\ln(x) - \ln(x+1)\)

• Производная \(2\ln(x)\) равна \(\frac{2}{x}\)
• Производная \(\ln(x+1)\) равна \(\frac{1}{x+1}\)
• Производная \(3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}\) равна \(3 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{9}{2}\sqrt{x}\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{9}{2}\sqrt{x}\)

2. б) \(y = 2^{\arctg x - x^2}\)

Используем правило цепочки и формулу производной показательной функции: \((a^u)' = u'a^u \ln(a)\).

• \(u = \arctg x - x^2\), тогда \(u' = \frac{1}{1+x^2} - 2x\)

Значит, \(y' = (\frac{1}{1+x^2} - 2x)2^{\arctg x - x^2} \ln(2)\)

3. a) \(y = x^2 + x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}\)

• Производная \(x^2\) равна \(2x\)
• Производная \(x \arcsin x\): Используем правило произведения. \(u = x\), \(v = \arcsin x\). Тогда \(u' = 1\), \(v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\). Значит, \((x \arcsin x)' = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
• Производная \(\sqrt{1-x^2}\): Используем правило цепочки. \(u = 1-x^2\), \(u' = -2x\). Тогда \((\sqrt{1-x^2})' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\)

Собираем все вместе:

\(y' = 2x + \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 2x + \arcsin x\)

3. б) \(y = 2^{5 + \frac{1}{x}}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = 5 + \frac{1}{x}\), тогда \(u' = -\frac{1}{x^2}\)

Значит, \(y' = -\frac{1}{x^2} 2^{5 + \frac{1}{x}} \ln(2)\)

4. a) \(y = \ln(\frac{(x-1)^2}{x+2}) + 3\sqrt[3]{x^2}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \(\ln(\frac{(x-1)^2}{x+2}) = 2\ln(x-1) - \ln(x+2)\)

• Производная \(2\ln(x-1)\) равна \(\frac{2}{x-1}\)
• Производная \(\ln(x+2)\) равна \(\frac{1}{x+2}\)
• Производная \(3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{2/3}\) равна \(3 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = 2x^{-1/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\)

4. б) \(y = 2^{\frac{4}{\sin x}}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = \frac{4}{\sin x}\), тогда \(u' = 4(-\frac{\cos x}{\sin^2 x}) = -\frac{4\cos x}{\sin^2 x}\)

Значит, \(y' = -\frac{4\cos x}{\sin^2 x} 2^{\frac{4}{\sin x}} \ln(2)\)

5. a) \(y = \ln(\frac{x^2}{x-1}) + 4x\sqrt[4]{x}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \(\ln(\frac{x^2}{x-1}) = 2\ln(x) - \ln(x-1)\)

• Производная \(2\ln(x)\) равна \(\frac{2}{x}\)
• Производная \(\ln(x-1)\) равна \(\frac{1}{x-1}\)
• Производная \(4x\sqrt[4]{x} = 4x^{5/4}\) равна \(4 \cdot \frac{5}{4}x^{1/4} = 5\sqrt[4]{x}\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} + 5\sqrt[4]{x}\)

5. б) \(y = (e^{\sin x} + 3x)^3\)

Используем правило цепочки.

• Пусть \(u = e^{\sin x} + 3x\), тогда \(y = u^3\), и \(y' = 3u^2 u'\)
• \(u' = (e^{\sin x})' + (3x)' = e^{\sin x} \cos x + 3\)

Значит, \(y' = 3(e^{\sin x} + 3x)^2 (e^{\sin x} \cos x + 3)\)

6. a) \(y = x^3(3\ln x - 1) - \frac{x+1}{e}\)

• Производная \(x^3(3\ln x - 1)\): Используем правило произведения. \(u = x^3\), \(v = 3\ln x - 1\). Тогда \(u' = 3x^2\), \(v' = \frac{3}{x}\). Значит, \((x^3(3\ln x - 1))' = 3x^2(3\ln x - 1) + x^3 \cdot \frac{3}{x} = 9x^2 \ln x - 3x^2 + 3x^2 = 9x^2 \ln x\)
• Производная \(-\frac{x+1}{e}\) равна \(-\frac{1}{e}\)

Собираем все вместе:

\(y' = 9x^2 \ln x - \frac{1}{e}\)

6. б) \(y = (5^{tg 2x} + 3)^4\)

Используем правило цепочки.

• Пусть \(u = 5^{tg 2x} + 3\), тогда \(y = u^4\), и \(y' = 4u^3 u'\)
• Производная \(5^{tg 2x}\): Используем правило \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\). Здесь \(u = tg 2x\), \(u' = \frac{2}{\cos^2 2x}\). Значит, \((5^{tg 2x})' = 5^{tg 2x} \ln(5) \frac{2}{\cos^2 2x}\)

Собираем все вместе:

\(y' = 4(5^{tg 2x} + 3)^3 (5^{tg 2x} \ln(5) \frac{2}{\cos^2 2x})\)

7. a) \(y = \ln(\frac{(x+1)^2}{x+3}) + 3\sqrt[3]{x}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \(\ln(\frac{(x+1)^2}{x+3}) = 2\ln(x+1) - \ln(x+3)\)

• Производная \(2\ln(x+1)\) равна \(\frac{2}{x+1}\)
• Производная \(\ln(x+3)\) равна \(\frac{1}{x+3}\)
• Производная \(3\sqrt[3]{x} = 3x^{1/3}\) равна \(3 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = x^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

7. б) \(y = 5^{\arcsin x^2}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = \arcsin x^2\), тогда \(u' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)

Значит, \(y' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} 5^{\arcsin x^2} \ln(5)\)

8. a) \(y = e^{5x}(5x-1) - \frac{2\ln x + 1}{7}\)

• Производная \(e^{5x}(5x-1)\): Используем правило произведения. \(u = e^{5x}\), \(v = 5x - 1\). Тогда \(u' = 5e^{5x}\), \(v' = 5\). Значит, \((e^{5x}(5x-1))' = 5e^{5x}(5x-1) + e^{5x} \cdot 5 = 25xe^{5x} - 5e^{5x} + 5e^{5x} = 25xe^{5x}\)
• Производная \(\frac{2\ln x + 1}{7}\) равна \(\frac{2}{7x}\)

Собираем все вместе:

\(y' = 25xe^{5x} - \frac{2}{7x}\)

8. б) \(y = 4^{\arctg \frac{3}{x}}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = \arctg \frac{3}{x}\), тогда \(u' = \frac{1}{1+(\frac{3}{x})^2} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = \frac{1}{1+\frac{9}{x^2}} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = \frac{-\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2+9}{x^2}} = -\frac{3}{x^2+9}\)

Значит, \(y' = -\frac{3}{x^2+9} 4^{\arctg \frac{3}{x}} \ln(4)\)

9. a) \(y = \ln(\frac{(x+1)^2}{x-2}) - \sqrt{4-x^2}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \(\ln(\frac{(x+1)^2}{x-2}) = 2\ln(x+1) - \ln(x-2)\)

• Производная \(2\ln(x+1)\) равна \(\frac{2}{x+1}\)
• Производная \(\ln(x-2)\) равна \(\frac{1}{x-2}\)
• Производная \(\sqrt{4-x^2}\): Используем правило цепочки. \(u = 4-x^2\), \(u' = -2x\). Тогда \((\sqrt{4-x^2})' = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2} + \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\)

9. б) \(y = 2^{\sin^3 \frac{1}{x}}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = \sin^3 \frac{1}{x}\). Сначала найдем производную \(\sin^3 \frac{1}{x}\).
• Пусть \(v = \sin \frac{1}{x}\), тогда \(u = v^3\), и \(u' = 3v^2 v'\).
• Производная \(\sin \frac{1}{x}\): Пусть \(w = \frac{1}{x}\), тогда \((\sin w)' = \cos w \cdot w' = \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})\)
• Значит, \(u' = 3(\sin \frac{1}{x})^2 \cdot (\cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}))\)

Собираем все вместе:

\(y' = 2^{\sin^3 \frac{1}{x}} \ln(2) \cdot 3(\sin \frac{1}{x})^2 \cdot (\cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}))\)

10. a) \(y = \ln x - 1 + (e^{3x} - 7x^9)(3x-1)\)

• Производная \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\)
• Производная \((e^{3x} - 7x^9)(3x-1)\): Используем правило произведения. \(u = e^{3x} - 7x^9\), \(v = 3x - 1\). Тогда \(u' = 3e^{3x} - 63x^8\), \(v' = 3\).
• Значит, \(((e^{3x} - 7x^9)(3x-1))' = (3e^{3x} - 63x^8)(3x-1) + (e^{3x} - 7x^9) \cdot 3\)

Собираем все вместе:

\(y' = \frac{1}{x} + (3e^{3x} - 63x^8)(3x-1) + 3(e^{3x} - 7x^9)\)

10. б) \(y = 3^{\cos^2 4x}\)

Используем правило производной показательной функции: \((a^u)' = a^u \ln(a) u'\).

• \(u = \cos^2 4x\). Сначала найдем производную \(\cos^2 4x\).
• Пусть \(v = \cos 4x\), тогда \(u = v^2\), и \(u' = 2v v'\).
• Производная \(\cos 4x\): Производная \(\cos 4x\) равна \(-\sin 4x \cdot 4 = -4\sin 4x\)
• Значит, \(u' = 2 \cos 4x \cdot (-4\sin 4x) = -8 \cos 4x \sin 4x = -4 \sin 8x\)

Собираем все вместе:

\(y' = 3^{\cos^2 4x} \ln(3) \cdot (-4 \sin 8x)\)

Ответ: Выше приведены производные всех функций.

Ты отлично справился с этим заданием! Если возникнут еще вопросы, обращайся, всегда рада помочь!