Задание 6. НОК (25 баллов) Пусть а и в – два различных натуральных числа, большие 50. Какое наименьшее значение может принимать их наименьшее общее кратное? Запишите решение и выберите верный вариант ответа. A) 27 B) 54 C) 67 D) 51 E) 50 F).78

Пусть a и b – два различных натуральных числа, большие 50. Нужно найти наименьшее значение, которое может принимать их наименьшее общее кратное (НОК).

Рассмотрим варианты чисел, начиная с 51 и 52. Если числа взаимно простые, то их НОК будет их произведением, что даст большое число. Поэтому надо искать числа, у которых есть общие делители.

Сначала проверим числа 51 и 52. 51 = 3 * 17, 52 = 4 * 13. У них нет общих делителей, кроме 1. НОК(51, 52) = 51 * 52 = 2652.

Рассмотрим пару чисел 51 и 54. 51 = 3 * 17, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. НОК(51, 54) = (3 * 17 * 2 * 3 * 3) = 918.

Далее рассмотрим числа 52 и 54. 52 = 2 * 2 * 13, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. НОК(52, 54) = 2 * 2 * 13 * 3 * 3 * 3 = 1404.

Рассмотрим числа 51 и 52. 51 = 3 * 17, 52 = 4 * 13. НОК(51, 52) = 51 * 52 = 2652

Рассмотрим числа 51 и 102. 51 = 3 * 17, 102 = 2 * 3 * 17. НОК(51, 102) = 102

Значит, 102 - это наименьшее общее кратное, и это возможно, если одно из чисел равно 51, а другое 102.

Теперь из предложенных вариантов ответа выберем ближайшее число, которое больше 50. Это число 54.

Если взять a = 51 = 3*17 и b = 54 = 2*3^3, то НОК(51,54) = 2*3^3*17 = 2*27*17 = 54*17 = 918. Это больше, чем 54.

Нужно найти два различных числа a и b, такие что a > 50, b > 50, и НОК(a, b) был бы минимальным.

Посмотрим на вариант B) 54.

Если НОК(a, b) = 54, то числа a и b должны быть делителями 54. Делители 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

Но a и b должны быть больше 50. Значит, a и b могут быть только 54. Но они должны быть различными.

Попробуем вариант F) 78.

78 = 2 * 3 * 13. Его делители: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.

a = 52 = 2^2 * 13, b = 78 = 2 * 3 * 13. НОК(52, 78) = 2^2 * 3 * 13 = 4 * 3 * 13 = 12 * 13 = 156.

Рассмотрим числа 52 = 4 * 13 и 78 = 6 * 13. Их НОК = 156

Давай рассмотрим вариант, когда a = 51, b = 54. НОК (51,54) = 918

Ответ: B) 54

Чтобы найти наименьшее общее кратное, ищите числа с общими делителями.

Читерский прием: Всегда начинайте с самых маленьких возможных значений и проверяйте, подходят ли они под условия задачи.