Задание 4 номер в КИМ: 18 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 различных решения. Входит ли а = -4 в ответ? Да Нет [y= |x-a|-4 4y+x²+8x=0 Выбери один или несколько вариантов ответов Подсказка Подсказка 2 < Взять ещё > Пропустить Ответить

Ответ: Да, входит.

Рассмотрим систему уравнений:

• Первое уравнение: y = |x - a| - 4 представляет собой график модуля с вершиной в точке (a, -4), смещенный на 4 единицы вниз.
• Второе уравнение: 4|y| + x² + 8x = 0. Выразим |y|: |y| = -(x² + 8x) / 4. Заметим, что x² + 8x = (x + 4)² - 16. Тогда |y| = -((x + 4)² - 16) / 4 = (16 - (x + 4)²) / 4.

Исследуем второе уравнение:

• Так как |y| всегда неотрицателен, то (16 - (x + 4)²) / 4 ≥ 0, следовательно, 16 - (x + 4)² ≥ 0. Значит, (x + 4)² ≤ 16.
• Это неравенство выполняется, когда -4 ≤ x + 4 ≤ 4, или -8 ≤ x ≤ 0.

Рассмотрим случай y ≥ 0: y = (16 - (x + 4)²) / 4

Рассмотрим случай y < 0: -y = (16 - (x + 4)²) / 4, или y = -(16 - (x + 4)²) / 4

Таким образом, второе уравнение задаёт две полуокружности с центрами в точке (-4, 0) и радиусом 4, расположенные выше и ниже оси x на отрезке [-8, 0].

Чтобы система имела ровно 4 решения, график y = |x - a| - 4 должен пересекать обе полуокружности в четырех точках.

Определим, входит ли a = -4 в ответ.

Если a = -4, первое уравнение принимает вид: y = |x + 4| - 4.

График y = |x + 4| - 4 представляет собой "уголок" с вершиной в точке (-4, -4).

В этом случае, при a = -4, вершина уголка (-4, -4) лежит на нижней полуокружности, а сам уголок пересекает обе полуокружности в четырех точках.

Таким образом, a = -4 является частью ответа.

Ответ: Да, входит.