Задание 2 Номер в КИМ: 7 Найдите значение выражения: -3,5tg(108°) - tg(162°).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим первое слагаемое, используя формулу приведения tg(90° + α) = -ctg(α):
  tg(108°) = tg(90° + 18°) = -ctg(18°)
• Шаг 2: Упростим второе слагаемое, используя формулу приведения tg(180° - α) = -tg(α):
  tg(162°) = tg(180° - 18°) = -tg(18°)
• Шаг 3: Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
  -3,5tg(108°) - tg(162°) = -3,5(-ctg(18°)) - (-tg(18°)) = 3,5ctg(18°) + tg(18°)
• Шаг 4: Выразим ctg(18°) через tg(18°), используя соотношение ctg(α) = 1/tg(α):
  3,5ctg(18°) + tg(18°) = 3,5 \frac{1}{tg(18°)} + tg(18°)
• Шаг 5: Приведем к общему знаменателю:
  \frac{3,5}{tg(18°)} + tg(18°) = \frac{3,5 + tg^2(18°)}{tg(18°)}
• Шаг 6: Вспомним, что tg(18°) = \(\sqrt{5} - 1\)/\(\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\) ≈ 0.324919696. Тогда ctg(18°) ≈ 3.077683537. 3,5 * ctg(18°) + tg(18°) = 3,5 * 3.077683537 + 0.324919696 ≈ 10.77189238 + 0.324919696 ≈ 11.09681208
• Шаг 7: Зная, что точное значение tg(18°) = (\(\sqrt{5}\) - 1)/(\(2\sqrt{5 + \sqrt{5}}\)), а ctg(18°) = (\(2\sqrt{5 + \sqrt{5}}\))/(\( \sqrt{5}\) - 1), упростим выражение:
  3,5ctg(18°) + tg(18°) = 3,5ctg(18°) + tg(18°) = 3,5 * (\(\sqrt{5} + 1\))/2 + (\( \sqrt{5} - 1\))/2 = 2 \(\sqrt{5}\) = 4.472135955
• Шаг 8: Вычислим: tg(108°) ≈ -3.0777, tg(162°) ≈ -0.3249.
  Тогда: -3,5 * (-3.0777) - (-0.3249) ≈ 10.772 + 0.3249 ≈ 11.0969.
• Шаг 9: Округлим полученное значение до целого числа:
  11.0969 ≈ 11

Ответ: 11