Задание 8 Номер в КИМ: 17 Основания трапеции равны 18 и 36, одна из боковых сторон равна 18/2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания.
2. Угол между боковой стороной и основанием равен 135°, следовательно, угол между боковой стороной и высотой равен 180° - 135° = 45°. Тогда угол между высотой и основанием также равен 45°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, треугольник равнобедренный, и высота равна катету.
3. Пусть высота равна h. Тогда, по теореме Пифагора, $$h^2 + h^2 = (18\sqrt{2})^2$$.
4. $$2h^2 = 18^2 \cdot 2$$
5. $$h^2 = 18^2$$
6. $$h = 18$$
7. Разность оснований равна 36 - 18 = 18. Так как высота равна 18, то прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания, является равнобедренным. Значит, отрезок большего основания, прилежащий к прямоугольному треугольнику, равен 18.
8. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h$$
9. $$S = \frac{(18+36)}{2} \cdot 18 = \frac{54}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$$

Ответ: 486