Задание 6 Номер в КИМ: 13 Самопроверка а) Решите уравнение: loggx logg(4x² - 132) = logg (4x²-132) x2 64 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (log232; 513].

Решаем уравнение:

Логика такая: сначала решим уравнение, а потом отберем корни, которые принадлежат заданному промежутку.

а) Решение уравнения:

Исходное уравнение: \[\log_{8x} \cdot \log_8(4x^2 - 132) = \log_8 \frac{(4x^2 - 132) \cdot x^2}{64}\]

Смотри, тут всё просто: сначала избавимся от логарифмов, упростим выражение и решим получившееся уравнение.

1. Избавляемся от логарифмов:

   \[\log_{8x} \cdot \log_8(4x^2 - 132) = \log_8 \frac{(4x^2 - 132) \cdot x^2}{64}\]

   Предположим, что \[\log_8(4x^2 - 132) = y\]

   Тогда уравнение можно переписать как: \[\log_{8x} y = \log_8 \frac{x^2 \cdot y}{64}\]

   Это возможно только если \[y = 1\] или основания логарифмов равны.

2. Случай 1: \[\log_8(4x^2 - 132) = 1\]

   \[4x^2 - 132 = 8\]

   \[4x^2 = 140\]

   \[x^2 = 35\]

   \[x = \pm \sqrt{35}\]

3. Случай 2: Основания логарифмов равны

   \[8x = 8\]

   \[x = 1\]

б) Отбор корней, принадлежащих промежутку \((\log_2 32; \sqrt[3]{513}]\):

1. Оцениваем значения:

   \[\log_2 32 = 5\] (так как \[2^5 = 32\])

   \[\sqrt[3]{513}\] примерно равно 8 (так как \[8^3 = 512\])

2. Проверяем корни:
   • \[x = \sqrt{35} \approx 5.916\] (принадлежит промежутку (5; 8])
   • \[x = -\sqrt{35} \approx -5.916\] (не принадлежит, так как отрицательное)
   • \[x = 1\] (не принадлежит, так как меньше 5)

Ответ: \[x = \sqrt{35}\]