Задание 2 Номер в КИМ: 13 Самопроверка а) Решите уравнение: 2sinx-cos2x-cos2x-√2+√√2 = 2sinx. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2п; 7π/2.

Привет! Давай вместе решим это уравнение и найдем нужные корни!

a) Решение уравнения:

Нам дано уравнение: \[2\sin x \cdot \cos 2x - \cos 2x \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sin x\]

Преобразуем его:

• Перенесем все члены в одну сторону: \[2\sin x \cdot \cos 2x - \cos 2x \cdot \sqrt{2} - 2\sin x + \sqrt{2} = 0\]
• Сгруппируем члены: \[2\sin x(\cos 2x - 1) - \sqrt{2}(\cos 2x - 1) = 0\]
• Вынесем общий множитель \[(\cos 2x - 1)(2\sin x - \sqrt{2}) = 0\]

Теперь у нас есть два случая:

1. \[\cos 2x = 1\]Тогда \[2x = 2\pi n, x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]
2. \[2\sin x = \sqrt{2}\]Тогда \[\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\]

Начнем с первого случая:

• \[x = \pi n\] Берем \[n = 2, x = 2\pi\] и \[n = 3, x = 3\pi\]

Теперь второй случай:

• \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\] Берем \[k = 1, x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\]
• \[x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m\] Берем \[m = 1, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\]

Ответ:

Корни, принадлежащие отрезку \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\], это \[2\pi, 3\pi, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}\]