Задание 35. (ОБЗ) Найдите наименьшее значение функции ... 1) y=9x-ln(x+4)9 на отрезке [-3,5; 0]; 2) y=5x-ln(x+8)5 на отрезке [-7,5; 0]; 3) y=3x-ln(x+3)3 на отрезке [-2,5; 0]; 4) y=9x-ln(x+5)9 на отрезке [-4,5; 0].

Решение для каждого случая:

1) \( y = 9x - \ln((x+4)^9) \) на отрезке \( [-3.5; 0] \)

Функция: \( y = 9x - 9\ln(x+4) \)

Производная: \( y' = 9 - \frac{9}{x+4} \)

Приравняем производную к нулю: \( 9 - \frac{9}{x+4} = 0 \) => \( x = -3 \)

Вычислим значения функции в точках \( x = -3.5, x = -3, x = 0 \):

• \( y(-3.5) = 9(-3.5) - 9\ln(-3.5+4) = -31.5 - 9\ln(0.5) \approx -31.5 + 6.24 = -25.26 \)
• \( y(-3) = 9(-3) - 9\ln(-3+4) = -27 - 9\ln(1) = -27 \)
• \( y(0) = 9(0) - 9\ln(0+4) = -9\ln(4) \approx -9 \cdot 1.386 = -12.47 \)

Минимальное значение: -27

2) \( y = 5x - \ln((x+8)^5) \) на отрезке \( [-7.5; 0] \)

Функция: \( y = 5x - 5\ln(x+8) \)

Производная: \( y' = 5 - \frac{5}{x+8} \)

Приравняем производную к нулю: \( 5 - \frac{5}{x+8} = 0 \) => \( x = -7 \)

Вычислим значения функции в точках \( x = -7.5, x = -7, x = 0 \):

• \( y(-7.5) = 5(-7.5) - 5\ln(-7.5+8) = -37.5 - 5\ln(0.5) \approx -37.5 + 3.47 = -34.03 \)
• \( y(-7) = 5(-7) - 5\ln(-7+8) = -35 \)
• \( y(0) = 5(0) - 5\ln(0+8) = -5\ln(8) \approx -5 \cdot 2.079 = -10.4 \)

Минимальное значение: -35

3) \( y = 3x - \ln((x+3)^3) \) на отрезке \( [-2.5; 0] \)

Функция: \( y = 3x - 3\ln(x+3) \)

Производная: \( y' = 3 - \frac{3}{x+3} \)

Приравняем производную к нулю: \( 3 - \frac{3}{x+3} = 0 \) => \( x = -2 \)

Вычислим значения функции в точках \( x = -2.5, x = -2, x = 0 \):

• \( y(-2.5) = 3(-2.5) - 3\ln(-2.5+3) = -7.5 - 3\ln(0.5) \approx -7.5 + 2.079 = -5.421 \)
• \( y(-2) = 3(-2) - 3\ln(-2+3) = -6 \)
• \( y(0) = 3(0) - 3\ln(0+3) = -3\ln(3) \approx -3 \cdot 1.099 = -3.297 \)

Минимальное значение: -6

4) \( y = 9x - \ln((x+5)^9) \) на отрезке \( [-4.5; 0] \)

Функция: \( y = 9x - 9\ln(x+5) \)

Производная: \( y' = 9 - \frac{9}{x+5} \)

Приравняем производную к нулю: \( 9 - \frac{9}{x+5} = 0 \) => \( x = -4 \)

Вычислим значения функции в точках \( x = -4.5, x = -4, x = 0 \):

• \( y(-4.5) = 9(-4.5) - 9\ln(-4.5+5) = -40.5 - 9\ln(0.5) \approx -40.5 + 6.24 = -34.26 \)
• \( y(-4) = 9(-4) - 9\ln(-4+5) = -36 \)
• \( y(0) = 9(0) - 9\ln(0+5) = -9\ln(5) \approx -9 \cdot 1.609 = -14.48 \)

Минимальное значение: -36