Задание 29. (ОБЗ) Найдите точку максимума функции y=3,5x2-29x+30lnx+67.

Для нахождения точки максимума функции, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. 1. Найдём производную функции $$y=3.5x^2-29x+30\ln x+67$$: $$y'= (3.5x^2)' - (29x)' + (30\ln x)' + (67)'$$ $$y' = 7x - 29 + \frac{30}{x}$$ 2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$7x - 29 + \frac{30}{x} = 0$$ Умножим обе части уравнения на x (x ≠ 0): $$7x^2 - 29x + 30 = 0$$ 3. Решим квадратное уравнение $$7x^2 - 29x + 30 = 0$$: Дискриминант: $$D = (-29)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 841 - 840 = 1$$ Корни: $$x_1 = \frac{29 + \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7}$$ и $$x_2 = \frac{29 - \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$$ 4. Теперь нам нужно проверить, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого найдем вторую производную: $$y'' = (7x - 29 + \frac{30}{x})' = 7 - \frac{30}{x^2}$$ 5. Проверим знак второй производной в точках $$x_1 = \frac{15}{7}$$ и $$x_2 = 2$$: $$y''(\frac{15}{7}) = 7 - \frac{30}{(\frac{15}{7})^2} = 7 - \frac{30}{\frac{225}{49}} = 7 - \frac{30 \cdot 49}{225} = 7 - \frac{2 \cdot 49}{15} = 7 - \frac{98}{15} = \frac{105 - 98}{15} = \frac{7}{15} > 0$$ $$y''(2) = 7 - \frac{30}{2^2} = 7 - \frac{30}{4} = 7 - 7.5 = -0.5 < 0$$ 6. Так как $$y''(2) < 0$$, то $$x = 2$$ является точкой максимума. Ответ: 2