Задание №4: Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 56°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (CM = AM = BM).
2. Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, и углы при основании равны (\(\angle MAC = \angle MCA\)).
3. Нам дан угол B, который равен 56°. Тогда угол A можно найти как 90° - угол B = 90° - 56° = 34°.
4. Так как треугольник AMC равнобедренный (AM = CM), то угол \(\angle MCA\) равен углу A, то есть 34°.
5. Угол \(\angle ACH\) равен углу B, то есть 56°, так как \(\angle ACH = 90^\circ - (90^\circ - \angle B) = \angle B\).
6. Искомый угол между высотой CH и медианой CM - это модуль разности углов \(\angle ACH\) и \(\angle ACM\).
7. \(|\angle ACH - \angle MCA| = |56^\circ - 34^\circ| = 22^\circ\).

Ответ: Угол между высотой CH и медианой CM равен 22°.