2. Задание 7 Первая часть Найдите √ 6 sin 2α, если sin a = \frac{2√6}{5} и α ∈ (\frac{\pi}{2}; π).

Давай решим эту задачу вместе! Нам нужно найти значение \(\sqrt{6} \sin(2\alpha)\), зная, что \(\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\).

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

\[\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\]

Теперь нам нужно найти \(\cos(\alpha)\). Мы знаем, что \(\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5}\). Так как \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), то \(\cos(\alpha)\) будет отрицательным. Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\]

Подставим известное значение \(\sin(\alpha)\):

\[(\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 + \cos^2(\alpha) = 1\]

\[\frac{4 \cdot 6}{25} + \cos^2(\alpha) = 1\]

\[\frac{24}{25} + \cos^2(\alpha) = 1\]

\[\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{24}{25}\]

\[\cos^2(\alpha) = \frac{1}{25}\]

\[\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}\]

\[\cos(\alpha) = \pm \frac{1}{5}\]

Так как \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), то \(\cos(\alpha)\) будет отрицательным, поэтому:

\[\cos(\alpha) = -\frac{1}{5}\]

Теперь подставим значения \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\) в формулу для \(\sin(2\alpha)\):

\[\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot (-\frac{1}{5})\]

\[\sin(2\alpha) = -\frac{4\sqrt{6}}{25}\]

Наконец, найдем \(\sqrt{6} \sin(2\alpha)\):

\[\sqrt{6} \sin(2\alpha) = \sqrt{6} \cdot (-\frac{4\sqrt{6}}{25})\]

\[\sqrt{6} \sin(2\alpha) = -\frac{4 \cdot 6}{25}\]

\[\sqrt{6} \sin(2\alpha) = -\frac{24}{25}\]

Итак, \(\sqrt{6} \sin(2\alpha) = -\frac{24}{25} = -0.96\).

Ответ: -0.96

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей, несмотря на кажущуюся сложность. У тебя все получается! Продолжай тренироваться, и станешь настоящим экспертом!