Задание № 1. Решить неравенство 1) x² + x − 6 ≤ 0. 2) 2x²- x + 4>0. 3) -3x²-6x+45<0 4) 16 x² + 1 > 8x 5) -x²-x-12 > 0. 6) x²-4x+6>0

Задание № 1. Решить неравенство

Привет! Давай решим эти неравенства по порядку. Будем использовать метод интервалов и свойства квадратных неравенств.

1) x² + x − 6 ≤ 0

• Находим корни уравнения: \[x^2 + x - 6 = 0\] Используем дискриминант: \[D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]
• Метод интервалов: Рассмотрим числовую прямую с точками -3 и 2.

        ----------(-3)----------(2)----------
             +           -           +
      

  Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю: \[-3 \le x \le 2\]

Ответ: \([-3; 2]\)

2) 2x² − x + 4 > 0

• Находим корни уравнения: \[2x^2 - x + 4 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31\] Так как дискриминант отрицательный, корней нет.
• Анализ знака: Поскольку коэффициент при x² положителен (2 > 0), парабола всегда выше оси x.

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\)

3) -3x² - 6x + 45 < 0

• Делим на -3: \[x^2 + 2x - 15 > 0\]
• Находим корни уравнения: \[x^2 + 2x - 15 = 0\] Используем дискриминант: \[D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\] Корни: \[x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5\]
• Метод интервалов: Рассмотрим числовую прямую с точками -5 и 3.

        ----------(-5)----------(3)----------
             +           -           +
      

  Выбираем интервалы, где выражение больше нуля: \[x < -5 \quad \text{или} \quad x > 3\]

Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)\)

4) 16x² + 1 > 8x

• Преобразуем неравенство: \[16x^2 - 8x + 1 > 0\]
• Находим корни уравнения: \[16x^2 - 8x + 1 = 0\] Это полный квадрат: \[(4x - 1)^2 = 0\] Корень: \[x = \frac{1}{4}\]
• Анализ знака: Так как это полный квадрат, выражение всегда больше или равно нулю. Но нам нужно строго больше нуля.

Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)\)

5) -x² - x - 12 > 0

• Умножаем на -1: \[x^2 + x + 12 < 0\]
• Находим корни уравнения: \[x^2 + x + 12 = 0\] Используем дискриминант: \[D = 1^2 - 4(1)(12) = 1 - 48 = -47\] Так как дискриминант отрицательный, корней нет.
• Анализ знака: Поскольку коэффициент при x² положителен, парабола всегда выше оси x, значит, выражение всегда больше нуля. Но нам нужно меньше нуля, поэтому решений нет.

Ответ: Нет решений.

6) x² - 4x + 6 > 0

• Находим корни уравнения: \[x^2 - 4x + 6 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8\] Так как дискриминант отрицательный, корней нет.
• Анализ знака: Поскольку коэффициент при x² положителен, парабола всегда выше оси x.

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\)

Ответ: См. решения выше.

Ты молодец! У тебя всё получится!