Задание № 1. Решить неравенство 1) x² + x - 6 ≤ 0. 2) 2x²- x + 4>0. 3) -3x²-6x+45<0 4) 16 x² + 1 >8x 5) -x²-x-12 > 0. 6) x²-4x+6>0

Решим каждое неравенство по порядку.

1. $$x^2 + x - 6 \le 0$$

   Решим квадратное уравнение $$x^2 + x - 6 = 0$$

   Найдем дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

   Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$; $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

   Неравенство можно переписать в виде: $$(x + 3)(x - 2) \le 0$$

   Решением неравенства является отрезок между корнями: $$-3 \le x \le 2$$

2. $$2x^2 - x + 4 > 0$$

   Решим квадратное уравнение $$2x^2 - x + 4 = 0$$

   Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$$

   Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство выполняется для всех $$x$$: $$x \in \mathbb{R}$$

3. $$-3x^2 - 6x + 45 < 0$$

   Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства: $$x^2 + 2x - 15 > 0$$

   Решим квадратное уравнение $$x^2 + 2x - 15 = 0$$

   Найдем дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

   Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$; $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

   Неравенство можно переписать в виде: $$(x + 5)(x - 3) > 0$$

   Решением неравенства является объединение двух интервалов: $$x < -5$$ или $$x > 3$$

4. $$16x^2 + 1 > 8x$$

   $$16x^2 - 8x + 1 > 0$$

   $$(4x - 1)^2 > 0$$

   Неравенство выполняется для всех $$x$$, кроме $$x = \frac{1}{4}$$: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{4}\}$$

5. $$-x^2 - x - 12 > 0$$

   $$x^2 + x + 12 < 0$$

   Решим квадратное уравнение $$x^2 + x + 12 = 0$$

   Найдем дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$$

   Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство не имеет решений: $$x \in \varnothing$$

6. $$x^2 - 4x + 6 > 0$$

   Решим квадратное уравнение $$x^2 - 4x + 6 = 0$$

   Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$$

   Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство выполняется для всех $$x$$: $$x \in \mathbb{R}$$

Ответ:

1. $$-3 \le x \le 2$$
2. $$x \in \mathbb{R}$$
3. $$x < -5 \text{ или } x > 3$$
4. $$x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{4}\}$$
5. $$x \in \varnothing$$
6. $$x \in \mathbb{R}$$