Задание № 1 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера: x₁-1x₂+2x₃ = -1, 3x₁+2x₂-2x₃ = -4, 5x₁-2x₂+4x₃ = -1.

Для решения системы линейных уравнений методами Гаусса и Крамера, сначала запишем систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 = -1 \\ 3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -4 \\ 5x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -1 \end{cases} $$

1. Метод Гаусса (метод исключения)

Запишем расширенную матрицу системы:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & -1 \\ 3 & 2 & -2 & | & -4 \\ 5 & -2 & 4 & | & -1 \end{bmatrix} $$

• Выполним элементарные преобразования, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду.

• Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3, и из третьей строки первую, умноженную на 5:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 5 & -8 & | & -1 \\ 0 & 3 & -6 & | & 4 \end{bmatrix} $$

• Разделим вторую строку на 5:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & | & -\frac{1}{5} \\ 0 & 3 & -6 & | & 4 \end{bmatrix} $$

• Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 3:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & | & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{6}{5} & | & \frac{23}{5} \end{bmatrix} $$

• Умножим третью строку на -5/6:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & | & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{23}{6} \end{bmatrix} $$

Теперь решим систему относительно x₁, x₂ и x₃, начиная с последнего уравнения:

$$ x_3 = -\frac{23}{6} $$

• Подставим x₃ во второе уравнение:

$$ x_2 - \frac{8}{5}x_3 = -\frac{1}{5} \\ x_2 - \frac{8}{5}(-\frac{23}{6}) = -\frac{1}{5} \\ x_2 + \frac{92}{15} = -\frac{1}{5} \\ x_2 = -\frac{1}{5} - \frac{92}{15} = -\frac{3}{15} - \frac{92}{15} = -\frac{95}{15} = -\frac{19}{3} $$

• Подставим x₂ и x₃ в первое уравнение:

$$ x_1 - x_2 + 2x_3 = -1 \\ x_1 - (-\frac{19}{3}) + 2(-\frac{23}{6}) = -1 \\ x_1 + \frac{19}{3} - \frac{23}{3} = -1 \\ x_1 - \frac{4}{3} = -1 \\ x_1 = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} $$

2. Метод Крамера

Вычислим главный определитель матрицы A:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 1(8 - 4) - (-1)(12 + 10) + 2(-6 - 10) = 4 + 22 - 32 = -6 $$

Вычислим определитель для x₁:

$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \end{vmatrix} = -1(8 - 4) - (-1)(-16 - 2) + 2(8 + 2) = -4 - 18 + 20 = -2 $$

Вычислим определитель для x₂:

$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -4 & -2 \\ 5 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 1(-16 - 2) - (-1)(12 + 10) + 2(-3 + 20) = -18 + 22 + 34 = 38 $$

Вычислим определитель для x₃:

$$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & -4 \\ 5 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-2 - 8) - (-1)(-3 + 20) + (-1)(-6 - 10) = -10 - 17 + 16 = -11 $$

Теперь найдем значения x₁, x₂ и x₃:

$$ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \\ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{38}{-6} = -\frac{19}{3} \\ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-11}{-6} = \frac{11}{6} $$

Ответ: $$ x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -\frac{19}{3}, \quad x_3 = -\frac{23}{6} $$