Задание 1. Решить задачи 1. Измерения параллелепипеда равны 1 дм, 2 дм и 2 дм. Найдите сумму длин всех его ребер, диагональ параллелепипеда, диагонали всех его граней, периметр и площадь основания, площадь боковой и полной поверхности параллелепипеда. 2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах. 3. Крыша имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Угол между боковой гранью пирамиды и основанием равен 45 гр. Длина основания крыши 4,5 м. Сколько металлических листов понадобиться, чтобы покрыть крышу, если размеры листа 70 см на 140 см. (необходимый резерв материала 10% от площади крыши)

1. Решение задачи про параллелепипед.

1. Дано:
   • Параллелепипед с измерениями: a = 1 дм, b = 2 дм, c = 2 дм.
2. Найти:
   • Сумму длин всех ребер.
   • Диагональ параллелепипеда.
   • Диагонали всех его граней.
   • Периметр и площадь основания.
   • Площадь боковой и полной поверхности параллелепипеда.
3. Решение:
   • Сумма длин всех ребер: $$4(a + b + c) = 4(1 + 2 + 2) = 4 5 = 20 \text{ дм}$$
   • Диагональ параллелепипеда: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$$
   • Диагонали граней:
     • $$d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \text{ дм}$$ (2 грани)
     • $$d_{ac} = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \text{ дм}$$ (2 грани)
     • $$d_{bc} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ дм}$$ (2 грани)
   • Периметр основания (прямоугольник со сторонами 1 дм и 2 дм): $$P = 2(a + b) = 2(1 + 2) = 6 \text{ дм}$$
   • Площадь основания: $$S_{осн} = a \cdot b = 1 \cdot 2 = 2 \text{ дм}^2$$
   • Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 2(a \cdot c + b \cdot c) = 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(2 + 4) = 12 \text{ дм}^2$$
   • Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 2 + 12 = 4 + 12 = 16 \text{ дм}^2$$
4. Ответ:
   • Сумма длин всех ребер: 20 дм.
   • Диагональ параллелепипеда: 3 дм.
   • Диагонали граней: $$\sqrt{5}$$ дм (2 грани), $$\sqrt{5}$$ дм (2 грани), $$2\sqrt{2}$$ дм (2 грани).
   • Периметр основания: 6 дм.
   • Площадь основания: 2 дм².
   • Площадь боковой поверхности: 12 дм².
   • Площадь полной поверхности: 16 дм².

2. Решение задачи про призму.

1. Дано:
   • Высота уровня воды в первом сосуде: $$h_1 = 27 \text{ см}$$.
   • Сторона основания второго сосуда в 3 раза больше стороны основания первого.
2. Найти:
   • Высоту уровня воды во втором сосуде.
3. Решение:
   • Пусть $$a_1$$ - сторона основания первого сосуда, а $$a_2$$ - сторона основания второго сосуда. Тогда $$a_2 = 3a_1$$.
   • Площадь основания первого сосуда: $$S_1 = \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}$$.
   • Площадь основания второго сосуда: $$S_2 = \frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(3a_1)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{4} = 9S_1$$.
   • Объем воды в первом сосуде: $$V_1 = S_1 \cdot h_1$$.
   • Объем воды во втором сосуде: $$V_2 = S_2 \cdot h_2$$, где $$h_2$$ - высота уровня воды во втором сосуде.
   • Так как объем воды не меняется, то $$V_1 = V_2$$, следовательно, $$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$$.
   • Подставим $$S_2 = 9S_1$$: $$S_1 \cdot h_1 = 9S_1 \cdot h_2$$.
   • Отсюда $$h_2 = \frac{h_1}{9} = \frac{27}{9} = 3 \text{ см}$$.
4. Ответ: 3 см.

3. Решение задачи про крышу.

1. Дано:
   • Крыша имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.
   • Угол между боковой гранью и основанием: $$45^\circ$$.
   • Длина основания крыши: $$a = 4.5 \text{ м}$$.
   • Размеры металлического листа: $$70 \text{ см} \times 140 \text{ см}$$.
   • Необходимый резерв материала: 10% от площади крыши.
2. Найти:
   • Количество металлических листов, необходимых для покрытия крыши.
3. Решение:
   • Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
     • Так как угол между боковой гранью и основанием равен $$45^\circ$$, то высота боковой грани равна половине длины основания: $$h = \frac{a}{2} = \frac{4.5}{2} = 2.25 \text{ м}$$.
     • Площадь одной боковой грани: $$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4.5 \cdot 2.25 = 5.0625 \text{ м}^2$$.
     • Площадь боковой поверхности (4 грани): $$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 5.0625 = 20.25 \text{ м}^2$$.
   • Добавим 10% резерв материала: $$S_{резерв} = 0.1 \cdot S_{бок} = 0.1 \cdot 20.25 = 2.025 \text{ м}^2$$.
   • Итоговая площадь: $$S_{итого} = S_{бок} + S_{резерв} = 20.25 + 2.025 = 22.275 \text{ м}^2$$.
   • Размеры листа в метрах: $$0.7 \text{ м} \times 1.4 \text{ м}$$.
   • Площадь одного листа: $$S_{листа} = 0.7 \cdot 1.4 = 0.98 \text{ м}^2$$.
   • Количество листов: $$N = \frac{S_{итого}}{S_{листа}} = \frac{22.275}{0.98} \approx 22.73$$.
   • Округлим до целого числа: $$N = 23$$.
4. Ответ: 23 металлических листа.