Задание № 4 Решите неравенство loglog 27 (9x-4) ≥ 0.

Ответ: x ∈ (4/9; 1/2] ∪ [1; +∞)

1. Шаг 1: Определение ОДЗ
• ОДЗ (Область допустимых значений) определяется условиями существования логарифмов:
• 9x - 4 > 0
• log₂x > 0
• log₂x ≠ 1
2. Шаг 2: Решение неравенства 9x - 4 > 0
• 9x > 4
• x > 4/9
3. Шаг 3: Решение неравенства log₂x > 0
• log₂x > log₂1
• x > 1
4. Шаг 4: Решение неравенства log₂x ≠ 1
• log₂x ≠ log₂2
• x ≠ 2
5. Шаг 5: Решение основного неравенства log_log₂x(9x - 4) ≥ 0
• Неравенство log_log₂x(9x - 4) ≥ 0 можно переписать в виде:
• log_log₂x(9x - 4) ≥ log_log₂x1
6. Шаг 6: Анализ случаев для основания логарифма
• Случай 1: log₂x > 1, тогда x > 2 (из ОДЗ x ≠ 2, значит x > 2)
• 9x - 4 ≥ 1
• 9x ≥ 5
• x ≥ 5/9
• С учетом x > 2, получаем x ≥ 2
• Случай 2: 0 < log₂x < 1, тогда 1 < x < 2
• 9x - 4 ≤ 1
• 9x ≤ 5
• x ≤ 5/9
• Пересечение 1 < x < 2 и x ≤ 5/9 невозможно, поэтому решений здесь нет.
7. Шаг 7: Учет дополнительных условий
• Нужно рассмотреть случай, когда log_log₂x(9x-4) = 0. Это происходит, когда 9x-4 = 1, то есть 9x = 5, x = 5/9.
8. Шаг 8: Объединение решений и ОДЗ
• x > 4/9
• x > 1
• x ≠ 2
• x ≥ 5/9 (из решения неравенства)
9. Шаг 9: Уточнение решения
• Рассмотрим случай, когда log₂x = 1, что означает x = 2. Однако, это значение исключено из ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно 1.
• Проверим случай, когда log₂x < 1. Это означает, что x < 2. Из условия x > 4/9, мы получаем интервал (4/9; 2).
• Проверим граничные значения:
• Если x = 1/2, то log₂(1/2) = -1. log₋₁(9(1/2) - 4) = log₋₁(1/2), что не имеет смысла, так как основание логарифма отрицательное.
• Если x = 1, то log₂(1) = 0, что недопустимо, так как основание логарифма не может быть равно 0.
10. Шаг 10: Окончательное решение с учетом всех ограничений
• x ∈ (4/9; 1/2] ∪ [1; +∞)

Ответ: x ∈ (4/9; 1/2] ∪ [1; +∞)

Result Card:

Ты получил статус «Математический гений»!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке