Задание № 2 Решите неравенство log3|4x+1| (32x+1 -2.3x+1+3) < x 4 |4x + 1|

Ответ: (-1/4;0)

Пошаговое решение:

1. Определим ОДЗ:
   • \(|4x+1|
     eq 1\)
   • \(|4x+1| > 0\)

   Решаем первое неравенство:

   \[|4x+1|
   eq 1\]

   \[4x+1
   eq 1\] и \[4x+1
   eq -1\]

   \[4x
   eq 0\] и \[4x
   eq -2\]

   \[x
   eq 0\] и \[x
   eq -\frac{1}{2}\]

   Решаем второе неравенство:

   \[|4x+1| > 0\]

   \[4x+1
   eq 0\]

   \[x
   eq -\frac{1}{4}\]

   Объединяя решения, получаем ОДЗ: \[x
   eq -\frac{1}{4}, x
   eq 0, x
   eq -\frac{1}{2}\]

2. Преобразуем неравенство, используя метод рационализации:

   \[\log_{3|4x+1|}\left(\frac{3^{2x+1} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3}{4}\right) \leq \frac{x}{|4x+1|}\]

   Заменим \(3^{x} = t \), тогда \(3^{2x} = t^2 \), и неравенство примет вид:

   \[\log_{3|4x+1|}\left(\frac{3t^2 - 6t + 3}{4}\right) \leq \frac{x}{|4x+1|}\]

   \[\frac{\frac{3(t-1)^2}{4} - 1}{3|4x+1| - 1} \leq \frac{x}{|4x+1|}\]

   \[\frac{\frac{3(3^x-1)^2}{4} - 1}{3|4x+1| - 1} \leq \frac{x}{|4x+1|}\]

3. Решаем неравенство методом интервалов:

   Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{\frac{3(3^x-1)^2}{4} - 1}{3|4x+1| - 1} - \frac{x}{|4x+1|} \)

   При \(x \in (-\frac{1}{4};0) \), знаменатель положителен, а числитель отрицателен, следовательно, функция отрицательна.

Ответ: (-1/4;0)