Задание 9. Решите систему уравнений: 1) {3x²-4x=y {3x-4=y 2) {9x²+14x=y {9x-14=y 3) {4x²-3x=y {8x-6=y 4) {7x²-5x=y {7x-5y 5) {4x²-5k=y {8x-10=y 6) {5x²-11x=y {5x-117y 7) {2x²-5x=y {2x-3=y 8) {3x²-2x=y {3x-2=y 9) {4x²+y=9 {8x²-y=3 10) {3x²+y=4 {2x²-y=1 11) {2x²+y=4 {4x²-y=2 12) {5x²+y=12 {9x²-y=2 13) {x²+y=7 {2x²-y=5 14) {3x²+y=9 {7x²-y=1 15) {6x²+y=14 {12x²y-4 16) {3x²+y=6 {4x²y=1 17) {x²+3y²=31 {2x²+6y²=31x 18) {3x²+2y²=50 {12x²+8y²=50x 19) {x²+4y²=25 {3x²+12y²=25x 20) {5x²+y²=61 {15x²+3y²=61x 21) {2x²+y²=36 {8x²+4y²=36x 22) {2x²+3y²=21 {6x²+9y²=21x 23) {2x²+4y²=24 {4x²+8y²=24x 24) {3x²+2y²=45 {9x²+6y²=45x

Решим системы уравнений.

1) $$ \begin{cases} 3x^2 - 4x = y \\ 3x - 4 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$3x^2 - 4x = 3x - 4$$

$$3x^2 - 7x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

$$x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$$

$$y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1$$

Ответ: (4/3, 0), (1, -1)

2) $$ \begin{cases} 9x^2 + 14x = y \\ 9x - 14 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$9x^2 + 14x = 9x - 14$$

$$9x^2 + 5x + 14 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 25 - 504 = -479$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений

3) $$ \begin{cases} 4x^2 - 3x = y \\ 8x - 6 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$4x^2 - 3x = 8x - 6$$

$$4x^2 - 11x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$$

$$x_1 = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

$$x_2 = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 8 \cdot 2 - 6 = 16 - 6 = 10$$

$$y_2 = 8 \cdot \frac{3}{4} - 6 = 6 - 6 = 0$$

Ответ: (2, 10), (3/4, 0)

4) $$ \begin{cases} 7x^2 - 5x = y \\ 7x - 5 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$7x^2 - 5x = 7x - 5$$

$$7x^2 - 12x + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4$$

$$x_1 = \frac{12 + 2}{14} = \frac{14}{14} = 1$$

$$x_2 = \frac{12 - 2}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 7 \cdot 1 - 5 = 7 - 5 = 2$$

$$y_2 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0$$

Ответ: (1, 2), (5/7, 0)

5) $$ \begin{cases} 4x^2 - 5x = y \\ 8x - 10 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$4x^2 - 5x = 8x - 10$$

$$4x^2 - 13x + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9$$

$$x_1 = \frac{13 + 3}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

$$x_2 = \frac{13 - 3}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 8 \cdot 2 - 10 = 16 - 10 = 6$$

$$y_2 = 8 \cdot \frac{5}{4} - 10 = 10 - 10 = 0$$

Ответ: (2, 6), (5/4, 0)

6) $$ \begin{cases} 5x^2 - 11x = y \\ 5x - 117 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$5x^2 - 11x = 5x - 117$$

$$5x^2 - 16x + 117 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 117 = 256 - 2340 = -2084$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений

7) $$ \begin{cases} 2x^2 - 5x = y \\ 2x - 3 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$2x^2 - 5x = 2x - 3$$

$$2x^2 - 7x + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$$

$$y_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 1 - 3 = -2$$

Ответ: (3, 3), (1/2, -2)

8) $$ \begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases} $$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$$3x^2 - 2x = 3x - 2$$

$$3x^2 - 5x + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$$

$$y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$$

Ответ: (1, 1), (2/3, 0)

9) $$ \begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$12x^2 = 12$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 9 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5$$

$$y_2 = 9 - 4 \cdot (-1)^2 = 9 - 4 = 5$$

Ответ: (1, 5), (-1, 5)

10) $$ \begin{cases} 3x^2 + y = 4 \\ 2x^2 - y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$5x^2 = 5$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 4 - 3 \cdot 1^2 = 4 - 3 = 1$$

$$y_2 = 4 - 3 \cdot (-1)^2 = 4 - 3 = 1$$

Ответ: (1, 1), (-1, 1)

11) $$ \begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$6x^2 = 6$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 4 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2$$

$$y_2 = 4 - 2 \cdot (-1)^2 = 4 - 2 = 2$$

Ответ: (1, 2), (-1, 2)

12) $$ \begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$14x^2 = 14$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 12 - 5 \cdot 1^2 = 12 - 5 = 7$$

$$y_2 = 12 - 5 \cdot (-1)^2 = 12 - 5 = 7$$

Ответ: (1, 7), (-1, 7)

13) $$ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$3x^2 = 12$$

$$x^2 = 4$$

$$x_1 = 2, x_2 = -2$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 7 - 1 \cdot 2^2 = 7 - 4 = 3$$

$$y_2 = 7 - 1 \cdot (-2)^2 = 7 - 4 = 3$$

Ответ: (2, 3), (-2, 3)

14) $$ \begin{cases} 3x^2 + y = 9 \\ 7x^2 - y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$10x^2 = 10$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 9 - 3 \cdot 1^2 = 9 - 3 = 6$$

$$y_2 = 9 - 3 \cdot (-1)^2 = 9 - 3 = 6$$

Ответ: (1, 6), (-1, 6)

15) $$ \begin{cases} 6x^2 + y = 14 \\ 12x^2 - y = 4 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$18x^2 = 18$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 14 - 6 \cdot 1^2 = 14 - 6 = 8$$

$$y_2 = 14 - 6 \cdot (-1)^2 = 14 - 6 = 8$$

Ответ: (1, 8), (-1, 8)

16) $$ \begin{cases} 3x^2 + y = 6 \\ 4x^2 - y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$7x^2 = 7$$

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 6 - 3 \cdot 1^2 = 6 - 3 = 3$$

$$y_2 = 6 - 3 \cdot (-1)^2 = 6 - 3 = 3$$

Ответ: (1, 3), (-1, 3)

17) $$ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 31 \\ 2x^2 + 6y^2 = 31x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2:

$$2x^2 + 6y^2 = 62$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 62 - 31x$$

$$31x = 62$$

$$x = 2$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$2^2 + 3y^2 = 31$$

$$4 + 3y^2 = 31$$

$$3y^2 = 27$$

$$y^2 = 9$$

$$y_1 = 3, y_2 = -3$$

Ответ: (2, 3), (2, -3)

18) $$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 4:

$$12x^2 + 8y^2 = 200$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 200 - 50x$$

$$50x = 200$$

$$x = 4$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$3 \cdot 4^2 + 2y^2 = 50$$

$$48 + 2y^2 = 50$$

$$2y^2 = 2$$

$$y^2 = 1$$

$$y_1 = 1, y_2 = -1$$

Ответ: (4, 1), (4, -1)

19) $$ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25 \\ 3x^2 + 12y^2 = 25x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3:

$$3x^2 + 12y^2 = 75$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 75 - 25x$$

$$25x = 75$$

$$x = 3$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$3^2 + 4y^2 = 25$$

$$9 + 4y^2 = 25$$

$$4y^2 = 16$$

$$y^2 = 4$$

$$y_1 = 2, y_2 = -2$$

Ответ: (3, 2), (3, -2)

20) $$ \begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61 \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3:

$$15x^2 + 3y^2 = 183$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 183 - 61x$$

$$61x = 183$$

$$x = 3$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$5 \cdot 3^2 + y^2 = 61$$

$$45 + y^2 = 61$$

$$y^2 = 16$$

$$y_1 = 4, y_2 = -4$$

Ответ: (3, 4), (3, -4)

21) $$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 4:

$$8x^2 + 4y^2 = 144$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 144 - 36x$$

$$36x = 144$$

$$x = 4$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$2 \cdot 4^2 + y^2 = 36$$

$$32 + y^2 = 36$$

$$y^2 = 4$$

$$y_1 = 2, y_2 = -2$$

Ответ: (4, 2), (4, -2)

22) $$ \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 21 \\ 6x^2 + 9y^2 = 21x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3:

$$6x^2 + 9y^2 = 63$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 63 - 21x$$

$$21x = 63$$

$$x = 3$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$2 \cdot 3^2 + 3y^2 = 21$$

$$18 + 3y^2 = 21$$

$$3y^2 = 3$$

$$y^2 = 1$$

$$y_1 = 1, y_2 = -1$$

Ответ: (3, 1), (3, -1)

23) $$ \begin{cases} 2x^2 + 4y^2 = 24 \\ 4x^2 + 8y^2 = 24x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2:

$$4x^2 + 8y^2 = 48$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 48 - 24x$$

$$24x = 48$$

$$x = 2$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$2 \cdot 2^2 + 4y^2 = 24$$

$$8 + 4y^2 = 24$$

$$4y^2 = 16$$

$$y^2 = 4$$

$$y_1 = 2, y_2 = -2$$

Ответ: (2, 2), (2, -2)

24) $$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 45 \\ 9x^2 + 6y^2 = 45x \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3:

$$9x^2 + 6y^2 = 135$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$0 = 135 - 45x$$

$$45x = 135$$

$$x = 3$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$3 \cdot 3^2 + 2y^2 = 45$$

$$27 + 2y^2 = 45$$

$$2y^2 = 18$$

$$y^2 = 9$$

$$y_1 = 3, y_2 = -3$$

Ответ: (3, 3), (3, -3)