Задание 2 (решите! Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х²+1 и прямой у=3-х.

Привет! Разбираемся с задачей на нахождение площади фигуры, ограниченной параболой и прямой. Это интересная задача, которая требует знания интегрального исчисления.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим точки пересечения параболы \( y = x^2 + 1 \) и прямой \( y = 3 - x \). Для этого приравниваем уравнения:
   \[ x^2 + 1 = 3 - x \]
   \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:
   \[ x_1 + x_2 = -1 \] и \( x_1 \cdot x_2 = -2 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).
3. Шаг 3: Теперь вычисляем площадь фигуры как интеграл от большей функции (прямой) минус меньшая функция (парабола) в пределах от -2 до 1:
   \[ S = \int_{-2}^{1} ((3 - x) - (x^2 + 1)) dx \]
   \[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \]
4. Шаг 4: Берем интеграл:
   \[ S = [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} \]
5. Шаг 5: Подставляем пределы интегрирования:
   \[ S = (2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3}) \]
   \[ S = (2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) \]
   \[ S = (2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (-6 + \frac{8}{3}) \]
   \[ S = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 6 - \frac{8}{3} \]
   \[ S = 8 - \frac{1}{2} - \frac{9}{3} \]
   \[ S = 8 - \frac{1}{2} - 3 \]
   \[ S = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5 квадратных единиц.