Задание 6. Сервер может находиться в двух состояниях: перегружен или работает нормально. Если сегодня сервер перегружен, то завтра с вероятностью 0,6 он останется перегруженным. Если сегодня сервер работает нормально, то завтра с вероятностью 0,9 он продолжит нормальную работу. 1) Сегодня сервер перегружен. Найдите вероятность того, что послезавтра он будет работать нормально. 2) Сегодня сервер перегружен. Найдите вероятность того, что послезавтра он останется перегруженным. 2) Случайным образом берут 4 книги. Какова вероятность того, что 4 книги окажутся фантастикой? 3) Какова вероятность того, что из 5 случайно взятых книг будет 1 детективный роман и 4 произведения фантастики?

Задание 6

1)

Разбираемся: сегодня сервер перегружен. Чтобы послезавтра он работал нормально, нужно, чтобы завтра он тоже был в каком-то состоянии. Есть два варианта:

• Завтра сервер перегружен, а послезавтра работает нормально.
• Завтра сервер работает нормально, и послезавтра тоже работает нормально.

Находим вероятность каждого из этих вариантов:

• Вероятность, что завтра сервер перегружен: 0,6 (по условию). Вероятность, что послезавтра он будет работать нормально (если завтра перегружен): 1 - 0,6 = 0,4. Итого: 0,6 * 0,4 = 0,24.
• Вероятность, что завтра сервер работает нормально (если сегодня перегружен): 1 - 0,6 = 0,4. Вероятность, что послезавтра он продолжит нормально работать (если завтра нормально): 0,9 (по условию). Итого: 0,4 * 0,9 = 0,36.

Суммируем вероятности двух вариантов: 0,24 + 0,36 = 0,6.

Ответ: 0,6

2)

Разбираемся: сегодня сервер перегружен. Чтобы послезавтра он остался перегруженным, варианты:

• Завтра сервер перегружен, и послезавтра перегружен.
• Завтра сервер работает нормально, и послезавтра перегружен.

Находим вероятность каждого из вариантов:

• Вероятность, что завтра сервер перегружен: 0,6. Вероятность, что послезавтра он останется перегруженным (если завтра перегружен): 0,6. Итого: 0,6 * 0,6 = 0,36.
• Вероятность, что завтра сервер работает нормально (если сегодня перегружен): 1 - 0,6 = 0,4. Вероятность, что послезавтра он будет перегружен (если завтра нормально): 1 - 0,9 = 0,1. Итого: 0,4 * 0,1 = 0,04.

Суммируем вероятности двух вариантов: 0,36 + 0,04 = 0,4.

Ответ: 0,4

Задача 2

Для решения этой задачи необходимо знать общее количество книг и количество фантастических книг.

Допустим, всего 10 книг, из них 6 – фантастика. Тогда:

Общее количество способов выбрать 4 книги из 10: \( C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \)

Количество способов выбрать 4 фантастические книги из 6: \( C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = 15 \)

Вероятность того, что все 4 книги будут фантастикой: \( P = \frac{15}{210} = \frac{1}{14} \) ≈ 0,0714

Ответ: 0,0714

Задача 3

Опять-таки, нужно знать общее количество книг и количество книг каждого жанра.

Допустим, всего 10 книг: 1 детектив и 9 фантастических.

Общее количество способов выбрать 5 книг из 10: \( C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = 252 \)

Количество способов выбрать 1 детектив из 1: \( C_1^1 = 1 \)

Количество способов выбрать 4 фантастические книги из 9: \( C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = 126 \)

Вероятность того, что будет выбран 1 детектив и 4 фантастические книги: \( P = \frac{1 \cdot 126}{252} = \frac{126}{252} = 0,5 \)

Ответ: 0,5