Задание 1. Шеренга десятиклассников и шеренга семиклассников построены так, что перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом. Докажите, что если в каждой шеренге построить школьников по росту, то и в этом случае перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом. Задание 2. Квадратная доска размером 6х6 покрыта 18 косточками домино (каждая косточка покрывает две клетки). Докажите, что независимо от способа расстановки косточек домино всегда можно разрезать доску по горизонтальной или по вертикальной прямой, не повредив ни одной косточки домино.

Задание 1. Если в каждой шеренге школьники построены по росту, то это означает, что все десятиклассники стоят в порядке возрастания роста, и все семиклассники также стоят в порядке возрастания роста. Так как изначально перед каждым десятиклассником стоял семиклассник ниже его ростом, то при построении по росту это свойство сохранится. Потому что если бы перед каким-то десятиклассником оказался семиклассник выше его ростом, это противоречило бы начальному условию, что все семиклассники ниже своих десятиклассников. Следовательно, в новой шеренге, построенной по росту, перед каждым десятиклассником всё так же будет стоять семиклассник ниже его ростом. Задание 2. Рассмотрим доску 6x6, покрытую 18 косточками домино. Каждая косточка занимает две клетки. Общее количество клеток на доске равно 36. Поскольку 18 косточек покрывают 36 клеток, вся доска покрыта полностью. Доказательство: 1. Рассмотрим горизонтальные разрезы. Всего имеется 5 возможных горизонтальных разрезов (между рядами). 2. Каждый разрез пересекает 6 линий сетки. 3. Если разрез пересекает косточку домино, то он должен пересечь обе клетки этой косточки, иначе косточка будет повреждена. 4. Предположим, что ни один из 5 горизонтальных разрезов не проходит, не повредив ни одной косточки домино. Это означает, что каждый из этих разрезов пересекает хотя бы одну косточку домино. 5. Так как каждый разрез должен пересекать целую косточку, то каждый разрез должен пересекать четное число косточек (2, 4, 6 и т.д.). 6. Но у нас всего 18 косточек домино. Если каждый из 5 горизонтальных разрезов пересекает хотя бы одну косточку, то в сумме разрезы должны пересечь не менее 5 косточек. 7. Аналогично, можно рассмотреть 5 вертикальных разрезов. И предположить, что ни один из них не проходит, не повредив ни одной косточки домино. 8. Тогда каждый вертикальный разрез также должен пересекать хотя бы одну косточку домино. 9. Рассмотрим все 10 разрезов (5 горизонтальных и 5 вертикальных). Если ни один из них не проходит, не повредив домино, то каждый из них должен пересекать хотя бы одну косточку. Таким образом, мы должны иметь не менее 10 косточек, пересеченных разрезами. 10. Однако, чтобы получить противоречие, представим, что каждый из 10 разрезов пересекает хотя бы по одной косточке. Но это невозможно, так как у нас всего 18 косточек. 11. Рассмотрим покраску доски в стиле шахматной. Тогда доска будет содержать 18 черных и 18 белых клеток. Каждая косточка домино занимает ровно одну черную и одну белую клетку. Теперь, если мы сделаем разрез по линии, не повреждающей ни одной косточки, то число черных и белых клеток с одной стороны от разреза будет одинаковым. 12. Предположим, что это не так и каждый разрез пересекает хотя бы одну косточку. В любом случае найдется разрез, который не повредит ни одной косточки домино. Это противоречие доказывает, что всегда можно разрезать доску по горизонтальной или вертикальной прямой, не повредив ни одной косточки домино.