Задание 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 8, 6, 1, так чтобы не было одинаковых цифр и при условии, что: 1) первая цифра 8; 2) вторая цифра – 5, а пятая цифра – 1; 3) первая и вторая цифры – 5 и 6, в любом порядке.

Решим задачу.

1) Первая цифра фиксирована, поэтому на остальные четыре позиции можно поставить любые из оставшихся 4 цифр. Количество таких чисел равно числу перестановок из 4 элементов, то есть 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

2) Вторая и пятая цифры фиксированы. Остается три позиции, на которые можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Количество таких чисел равно числу перестановок из 3 элементов, то есть 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

3) Первая и вторая цифры могут быть 5 и 6 или 6 и 5. Значит, есть 2 варианта для первых двух цифр. На остальные три позиции можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Количество таких чисел равно 2 × 3! = 2 × 3 × 2 × 1 = 12.

Оформим решение:

1) Первая цифра 8. Остается 4 цифры (2, 5, 6, 1). Число перестановок из 4 цифр: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

2) Вторая цифра 5, пятая цифра 1. Остается 3 цифры (2, 8, 6). Число перестановок из 3 цифр: 3! = 3 * 2 * 1 = 6.

3) Первая и вторая цифры 5 и 6 в любом порядке. Это значит, что первые две цифры могут быть либо 56, либо 65. В каждом из этих случаев на оставшиеся 3 позиции можно поставить оставшиеся 3 цифры (2, 8, 1) в любом порядке. Число перестановок из 3 цифр: 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Так как вариантов для первых двух цифр 2, то общее количество чисел: 2 * 6 = 12.

Ответ:

1) 24

2) 6

3) 12