Задание 71. Сколько решений имеет система уравнений?

Решим представленные системы уравнений и определим количество их решений. 1) Система уравнений: \[\begin{cases} y = -2x + 3 \\ y = 2x + 3 \end{cases}\] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[-2x + 3 = 2x + 3\] \[-4x = 0\] \[x = 0\] Подставим значение x в любое из уравнений, например, в первое: \[y = -2(0) + 3 = 3\] Система имеет одно решение: \((0, 3)\). Ответ: одно решение. 2) Система уравнений: \[\begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = 2x + 1 \end{cases}\] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[2x + 3 = 2x + 1\] \[3 = 1\] Это неверно, следовательно, система не имеет решений. Ответ: нет решений. 3) Система уравнений: \[\begin{cases} y = 5x + 1 \\ y = 3x - 4 \end{cases}\] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[5x + 1 = 3x - 4\] \[2x = -5\] \[x = -\frac{5}{2}\] Подставим значение x в первое уравнение: \[y = 5(-\frac{5}{2}) + 1 = -\frac{25}{2} + 1 = -\frac{23}{2}\] Система имеет одно решение: \((-\frac{5}{2}, -\frac{23}{2})\). Ответ: одно решение. 4) Система уравнений: \[\begin{cases} y = 4x - 12 \\ y = -4x - 5 \end{cases}\] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[4x - 12 = -4x - 5\] \[8x = 7\] \[x = \frac{7}{8}\] Подставим значение x в первое уравнение: \[y = 4(\frac{7}{8}) - 12 = \frac{7}{2} - 12 = \frac{7 - 24}{2} = -\frac{17}{2}\] Система имеет одно решение: \((\frac{7}{8}, -\frac{17}{2})\). Ответ: одно решение. 6) Система уравнений: \[\begin{cases} y = 4 - 9x \\ y = -9x \end{cases}\] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[4 - 9x = -9x\] \[4 = 0\] Это неверно, следовательно, система не имеет решений. Ответ: нет решений. 7) Система уравнений: \[\begin{cases} 3y = 6x + 15 \\ 2y = 4x + 6 \end{cases}\] Преобразуем уравнения: \[\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = 2x + 3 \end{cases}\] Приравняем правые части уравнений: \[2x + 5 = 2x + 3\] \[5 = 3\] Это неверно, следовательно, система не имеет решений. Ответ: нет решений. 8) Система уравнений: \[\begin{cases} 3x + y = 3 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 3 - 3x\] Подставим во второе уравнение: \[4x + 2(3 - 3x) = 10\] \[4x + 6 - 6x = 10\] \[-2x = 4\] \[x = -2\] Подставим x в выражение для y: \[y = 3 - 3(-2) = 3 + 6 = 9\] Система имеет одно решение: \((-2, 9)\). Ответ: одно решение. 9) Система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 5 - x\] Подставим во второе уравнение: \[2x + 2(5 - x) = 8\] \[2x + 10 - 2x = 8\] \[10 = 8\] Это неверно, следовательно, система не имеет решений. Ответ: нет решений. 11) Система уравнений: \[\begin{cases} x = 7 - 2y \\ x = 14 - 4y \end{cases}\] Приравняем правые части: \[7 - 2y = 14 - 4y\] \[2y = 7\] \[y = \frac{7}{2}\] Тогда \[x = 7 - 2(\frac{7}{2}) = 7 - 7 = 0\] Ответ: одно решение 12) Система уравнений: \[\begin{cases} y + 8x = 1 \\ y = 1 - 8x \end{cases}\] Подставим y во первое уравнение: \[1 - 8x + 8x = 1\] \[1 = 1\] Это верно при любых x и y, удовлетворяющих уравнению y = 1 - 8x. Следовательно, система имеет бесконечно много решений. Ответ: бесконечно много решений 13) Система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 3 \\ y = -x - 2 \end{cases}\] Подставим y во первое уравнение: \[x - x - 2 = 3\] \[-2 = 3\] Это неверно, следовательно, система не имеет решений. Ответ: нет решений.