Задание 10. Слово «ГОРА» написали на картонке и разрезали полоску на буквы. Затем в случайном порядке выкладывают на стол. а) Постройте дерево всевозможных вариантов слов. б) Найдите вероятность того, что получилось слово «РОГА». Задание 11. В классе 15 девочек и 15 мальчиков, сколькими способами они могут разбиться на пары для организации выпускного вальса? Задание 12. Сколько существует способов поставить восемь ладей на шахматную доску так, чтобы никакие две ладьи не били друг друга?

а) Дерево всевозможных вариантов слов строится путем перебора всех возможных перестановок букв в слове «ГОРА». Это можно представить в виде графа, где каждая ветвь соответствует выбору следующей буквы.

б) Всего существует 4! = 4 \(\times\) 3 \(\times\) 2 \(\times\) 1 = 24 различных способа расположить буквы. Только один из них образует слово «РОГА». Следовательно, вероятность того, что получится слово «РОГА», равна: \[P = \frac{1}{24}\]

В классе 15 девочек и 15 мальчиков. Нужно разбить их на пары. Каждую девочку можно поставить в пару с каждым из 15 мальчиков. Таким образом, для первой девочки есть 15 вариантов. Для второй девочки остается 14 вариантов (так как один мальчик уже занят). Для третьей — 13 и так далее. Общее количество способов: \[15 \times 14 \times 13 \times ... \times 1\] Но так как порядок выбора пар не важен, нужно разделить на количество перестановок девочек, то есть на 15!: \[\frac{15!}{15!} = 1\] Однако, это неверный подход. Правильный способ — это выбрать первую пару 15 способами (любая девочка с любым мальчиком), затем вторую пару из оставшихся девочек и мальчиков и так далее. Но каждая пара считается дважды (так как порядок в паре не важен). Для первой девочки есть 15 вариантов выбора мальчика. Для второй девочки — 14 вариантов, и так далее. Таким образом, общее количество способов: \[15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot ... \cdot 1 = 15!\] Так как порядок пар не важен, нужно разделить на количество перестановок девочек, то есть на 15!: \[\frac{15!}{15!} = 1\] Но это тоже неверно, потому что мы не учитываем, что пары могут быть образованы в разном порядке. Правильный подход — выбирать пары последовательно: \[\frac{15 \times 15 \times 14 \times 14 \times ... \times 1 \times 1}{15!}\] Так как порядок пар не важен, нужно разделить на количество перестановок пар, то есть на 15!: \[\frac{(15!)^2}{15!} = 15!\] Но и это неверно. Правильный ответ: \[15!\] Так как порядок девочек важен, и для каждой девочки есть 15 вариантов выбора мальчика. Но каждая пара считается дважды (потому что порядок в паре не важен). Поэтому правильный ответ: Всего способов разбить на пары: 15! = 1,307,674,368,000

На шахматной доске 8x8 нужно разместить 8 ладей так, чтобы они не били друг друга. Это означает, что в каждой строке и в каждом столбце должна быть ровно одна ладья. Первая ладья может быть размещена в любой из 8 строк и 8 столбцов, то есть 8 вариантов. Вторая ладья может быть размещена в любой из оставшихся 7 строк и 7 столбцов, и так далее. Таким образом, общее количество способов: \[8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\] Но это неверно. Правильный подход — выбирать столбец для каждой ладьи. Для первой ладьи есть 8 вариантов (любой столбец), для второй — 7, для третьей — 6, и так далее. Таким образом, общее количество способов: \[8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\] Таким образом, существует 40320 способов расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга.