Задание 1. Статистика Два автомата на производстве сгущенки заполняют одинаковые банки. Было проведено 10 измерений для каждого автомата, чтобы узнать, сколько времени у автоматов уходит на то, чтобы заполнить одну банку сгущенкой. Данные в минутах приведены в таблице: Тест 1 1 2 Найдите: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3,2 3,3 3,2 3,2 3,5 3,4 3,3 3,2 3,3 3,4 3,3 3,1 3,4 3,5 3,3 3,2 3,2 3,2 3,1 3,3

a) Среднее арифметическое времени, за которое каждый автомат наполняет банку сгущенки.

Для первого автомата:

$$ \frac{3.2 + 3.3 + 3.2 + 3.2 + 3.5 + 3.4 + 3.3 + 3.2 + 3.3 + 3.4}{10} = \frac{33}{10} = 3.3 \text{ минуты} $$

Для второго автомата:

$$ \frac{3.3 + 3.1 + 3.2 + 3.2 + 3.2 + 3.1 + 3.3 + 3.4 + 3.5 + 3.3}{10} = \frac{32.6}{10} = 3.26 \text{ минуты} $$

Ответ: 3.3 минуты для первого автомата, 3.26 минуты для второго автомата.

---

б) Медиану времени, за которое каждый автомат наполняет банку сгущенки.

Для первого автомата:

Отсортированный ряд: 3.2, 3.2, 3.2, 3.2, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4, 3.4, 3.5

Медиана:

$$ \frac{3.3 + 3.3}{2} = 3.3 $$

Для второго автомата:

Отсортированный ряд: 3.1, 3.1, 3.2, 3.2, 3.2, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4, 3.5

Медиана:

$$ \frac{3.2 + 3.3}{2} = 3.25 $$

Ответ: 3.3 для первого автомата, 3.25 для второго автомата.

---

в) Дисперсию времени, за которое каждый автомат наполняет банку сгущенки.

Для первого автомата:

$$ D = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{n} $$ $$ D = \frac{(3.2-3.3)^2 + (3.3-3.3)^2 + (3.2-3.3)^2 + (3.2-3.3)^2 + (3.5-3.3)^2 + (3.4-3.3)^2 + (3.3-3.3)^2 + (3.2-3.3)^2 + (3.3-3.3)^2 + (3.4-3.3)^2}{10} $$ $$ D = \frac{0.01 + 0 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.01 + 0 + 0.01 + 0 + 0.01}{10} = \frac{0.1}{10} = 0.01 $$

Для второго автомата:

$$ \bar{x} = 3.26 $$ $$ D = \frac{(3.3-3.26)^2 + (3.1-3.26)^2 + (3.2-3.26)^2 + (3.2-3.26)^2 + (3.2-3.26)^2 + (3.1-3.26)^2 + (3.3-3.26)^2 + (3.4-3.26)^2 + (3.5-3.26)^2 + (3.3-3.26)^2}{10} $$ $$ D = \frac{0.0016 + 0.0256 + 0.0036 + 0.0036 + 0.0036 + 0.0256 + 0.0016 + 0.0196 + 0.0576 + 0.0016}{10} = \frac{0.144}{10} = 0.0144 $$

Ответ: 0.01 для первого автомата, 0.0144 для второго автомата.

---

г) Стандартное отклонение времени, за которое каждый автомат наполняет банку сгущенки.

Для первого автомата:

$$ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0.01} = 0.1 $$

Для второго автомата:

$$ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0.0144} = 0.12 $$

Ответ: 0.1 для первого автомата, 0.12 для второго автомата.

---

д) Сколько процентов от среднего значения составляет стандартное отклонение для каждого автомата отдельно. Округлите до сотых.

Для первого автомата:

$$ \frac{0.1}{3.3} \cdot 100 \approx 3.03 \% $$

Для второго автомата:

$$ \frac{0.12}{3.26} \cdot 100 \approx 3.68 \% $$

Ответ: 3.03% для первого автомата, 3.68% для второго автомата.

---

е) На основе полученных данных, сделайте вывод относительно работы этих автоматов.

Оба автомата работают достаточно стабильно, так как стандартное отклонение составляет около 3% от среднего времени заполнения банки. Второй автомат имеет немного большее стандартное отклонение, что может указывать на несколько большую вариативность во времени заполнения банки по сравнению с первым автоматом.

Ответ: Первый автомат работает стабильнее второго.