Задание 6. Тренинг Решите неравенство \frac{2 \log_2(32x) - 35}{\log_2^2 x - \log_2 x^8} < 1.

Решение

Давай решим это неравенство вместе!

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Логарифмы определены только для положительных аргументов, а также знаменатель не должен равняться нулю. Значит, у нас есть следующие условия:

1. \(32x > 0 \Rightarrow x > 0\)
2. \(\log_2^2 x - \log_2 x^8
   eq 0\)

Теперь разберемся со вторым условием:

\[ \log_2^2 x - \log_2 x^8
eq 0 \]

\[ \log_2^2 x - 8\log_2 x
eq 0 \]

\[ \log_2 x (\log_2 x - 8)
eq 0 \]

Это означает, что:

\[ \log_2 x
eq 0 \Rightarrow x
eq 1 \]

и

\[ \log_2 x
eq 8 \Rightarrow x
eq 2^8 = 256 \]

Таким образом, ОДЗ: \(x > 0, x
eq 1, x
eq 256\).

Теперь перейдем к решению самого неравенства:

\[ \frac{2 \log_2(32x) - 35}{\log_2^2 x - \log_2 x^8} < 1 \]

\[ \frac{2 \log_2(32x) - 35}{\log_2^2 x - 8\log_2 x} - 1 < 0 \]

\[ \frac{2 \log_2(32x) - 35 - (\log_2^2 x - 8\log_2 x)}{\log_2^2 x - 8\log_2 x} < 0 \]

\[ \frac{2(\log_2 32 + \log_2 x) - 35 - \log_2^2 x + 8\log_2 x}{\log_2^2 x - 8\log_2 x} < 0 \]

\[ \frac{2(5 + \log_2 x) - 35 - \log_2^2 x + 8\log_2 x}{\log_2^2 x - 8\log_2 x} < 0 \]

\[ \frac{10 + 2\log_2 x - 35 - \log_2^2 x + 8\log_2 x}{\log_2^2 x - 8\log_2 x} < 0 \]

\[ \frac{-\log_2^2 x + 10\log_2 x - 25}{\log_2 x(\log_2 x - 8)} < 0 \]

\[ \frac{-(\log_2 x - 5)^2}{\log_2 x(\log_2 x - 8)} < 0 \]

Умножим обе части неравенства на -1 (знак неравенства изменится):

\[ \frac{(\log_2 x - 5)^2}{\log_2 x(\log_2 x - 8)} > 0 \]

Так как \((\log_2 x - 5)^2 \ge 0\), то нам нужно, чтобы знаменатель был больше нуля:

\[ \log_2 x(\log_2 x - 8) > 0 \]

Это неравенство выполняется, когда:

1. \(\log_2 x > 0\) и \(\log_2 x - 8 > 0\)
2. \(\log_2 x < 0\) и \(\log_2 x - 8 < 0\)

Рассмотрим первый случай:

\[ \log_2 x > 0 \Rightarrow x > 1 \]

\[ \log_2 x - 8 > 0 \Rightarrow \log_2 x > 8 \Rightarrow x > 2^8 = 256 \]

Таким образом, в первом случае \(x > 256\).

Рассмотрим второй случай:

\[ \log_2 x < 0 \Rightarrow 0 < x < 1 \]

\[ \log_2 x - 8 < 0 \Rightarrow \log_2 x < 8 \Rightarrow x < 2^8 = 256 \]

Таким образом, во втором случае \(0 < x < 1\).

Еще нужно учесть, что выражение \((\log_2 x - 5)^2\) обращается в 0 при \(\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32\). Но так как неравенство строгое, то \(x
eq 32\).

Объединяя все условия, получаем ответ:

\[ x \in (0, 1) \cup (256, +\infty) \]

Ответ: \(x \in (0, 1) \cup (256, +\infty)\)

Ты проделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно все получится!