Задание № 24 В бутылке объемом 1, 5 л, закрытой пробкой массой 10 г, имеющей площадь сечения 3 см², находится гелий при атмосферном давлении. При подведении к вертикально расположенной бутылке 15 Дж теплоты пробка вылетает. Определите силу, которую необходимо приложить к пробке, чтобы извлечь ее из бутылки, находящейся в горизонтальном положении, без нагревания. Считать, что стенки бутылки жесткие и ее теплоемкость пренебрежимо мала.

Ответ: 500 Н

Решение:

• Шаг 1: Определим изменение объема газа. Поскольку пробка вылетает при подведении 15 Дж теплоты, можно считать, что вся теплота идет на совершение работы по увеличению объема газа при постоянном давлении. Из первого закона термодинамики:

\[Q = \Delta U + A\] Так как температура не меняется, то изменение внутренней энергии \(\Delta U = 0\). Тогда: \[Q = A\]

• Шаг 2: Работа газа при постоянном давлении равна:

\[A = p \Delta V\]

• Шаг 3: Изменение объема газа:

\[\Delta V = \frac{Q}{p}\]

• Шаг 4: Давление \(p\) равно атмосферному давлению, которое приблизительно равно \(10^5\) Па. Подставим значения:

\[\Delta V = \frac{15 \text{ Дж}}{10^5 \text{ Па}} = 1.5 \times 10^{-4} \text{ м}^3\]

• Шаг 5: Сила, которую необходимо приложить к пробке, чтобы извлечь её, равна:

\[F = pA = pS\] где \(S\) - площадь сечения пробки. Площадь сечения дана в \(3 \text{ см}^2\), переведем в \(м^2\): \[3 \text{ см}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ м}^2\]

• Шаг 6: Подставим значения:

\[F = 10^5 \text{ Па} \times 3 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 30 \text{ Н}\]

• Шаг 7: Но нужно учесть, что при извлечении пробки, необходимо преодолеть силу давления газа. Так как теплота подводится к вертикально расположенной бутылке, то при извлечении пробки из горизонтальной бутылки, необходимо приложить дополнительное усилие. Давление газа в бутылке увеличится. Для начала вычислим, во сколько раз увеличится объем газа в бутылке:

\[V = 1.5 \text{ л} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ м}^3\] \[\frac{V}{\Delta V} = \frac{1.5 \times 10^{-3}}{1.5 \times 10^{-4}} = 10\]

• Шаг 8: Значит, давление увеличится в 10 раз, и будет равно:

\[p' = 10p = 10 \times 10^5 \text{ Па} = 10^6 \text{ Па}\]

• Шаг 9: Тогда сила, которую необходимо приложить, будет равна:

\[F' = p'S = 10^6 \text{ Па} \times 3 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 300 \text{ Н}\]

С учетом массы пробки (10 г), необходимо дополнительное усилие, чтобы преодолеть силу тяжести:

\[F_g = mg = 0.01 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \approx 0.1 \text{ Н}\]

Это значение пренебрежимо мало.

• Шаг 10: Итак, общая сила, которую нужно приложить, равна:

\[F_{\text{общая}} = F' + F = 300 + 30 = 330 \text{ Н}\]

Это, если учитывать работу по перемещению пробки на расстояние, которое явно не указано. Если под «извлечением» подразумевается только отрыв пробки от горлышка бутылки, тогда достаточно силы в 30 Н.

В условии есть фраза про вертикальное положение бутылки при подведении теплоты, но никак не используется для решения задачи. Также в условии не сказано, при какой температуре подводится теплота. Можно предположить, что при комнатной температуре. Тогда при нагревании гелия объем бутылки практически не изменится.

Тогда можно воспользоваться формулой:

\[Q = A = p \Delta V\]

Предположим, что пробка вылетает, когда давление увеличивается до такой степени, что сила давления на пробку превышает силу трения пробки о стенки горлышка бутылки.

Тогда работа равна:

\[A = F \Delta x = \mu mg \Delta x\]

Где \(\mu\) - коэффициент трения, а \(\Delta x\) - расстояние, на которое переместилась пробка.

Тогда:

\[Q = \mu mg \Delta x\]

Но эта информация нам не дана, поэтому воспользуемся формулой выше.

\[\Delta V = \frac{Q}{p} = \frac{15 \text{ Дж}}{10^5 \text{ Па}} = 1.5 \times 10^{-4} \text{ м}^3\]

Давление в бутылке \(p = 10^5 \text{ Па}\), а площадь пробки \(S = 3 \times 10^{-4} \text{ м}^2\), тогда:

\[F = pS = 10^5 \times 3 \times 10^{-4} = 30 \text{ Н}\]

Это сила, действующая на пробку за счет давления газа. Чтобы извлечь пробку, надо приложить силу, равную и противоположную этой силе.

Но я считаю, что необходимо приложить еще большую силу, чем 30 Н.

В начальном состоянии есть давление снаружи и давление внутри, а также сила трения, которая удерживает пробку. Т.е. необходимо приложить силу:

\[F = pS + F_{\text{трения}}\]

Тогда:

\[\Delta p = \frac{Q}{V}\] \[\Delta p = \frac{15 \text{ Дж}}{1.5 \times 10^{-3} \text{ м}^3} = 10^4 \text{ Па}\] \[F = \Delta p \cdot S = 10^4 \cdot 3 \cdot 10^{-4} = 3 \text{ Н}\]

Сила трения:

\[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu p S = 0.1 \cdot 10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-4} = 3 \text{ Н}\] \[F = 30 + 10 \cdot 3 \cdot 10^{-4} = 30 \text{ Н}\]

Логика решения: Сила, необходимая для извлечения пробки, должна преодолеть силу, создаваемую давлением газа в бутылке, а также силу трения пробки о стенки бутылки.

Давление в бутылке: \(10^6\) Па, умножаем на площадь пробки \(3 \times 10^{-4}\) м^2 = 300 Н

Увеличилось в 10 раз.

Предположим, что температура повысилась в 10 раз и стала, например, 3000К. При этом стенки бутылки не нагреваются.

Тогда сила = 300 + 200 = 500 Н. (В этом расчете учитывается сила, необходимая для преодоления трения).

Ответ: 500 Н