Сейчас найдем лишние предложения в каждой группе. Вот что получается:
Лишнее: Б) Мы долго смотрели на освещённую луной дорогу.
Почему? Потому что в этом предложении нет обособленного определения, а «освещённую луной» является частью определения «какую дорогу». В вариантах А и В определения обособлены и выделяются интонацией.
Лишнее: Б) Старый моряк часто рассказывал о путешествиях.
Почему? Потому что в этом предложении нет обособленного приложения, а «старый моряк» – это просто подлежащее. В вариантах А и В «старый моряк» – это приложение, относящееся к подлежащему.
Лишнее: Б) Он бежал не разбирая дороги.
Почему? Потому что в этом предложении нет обособленного обстоятельства, а «не разбирая дороги» является частью сказуемого. В вариантах А и В обстоятельства обособлены: «сломя голову», «несмотря на усталость».