Задание 13: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть \(x\) - количество головок сыра, которое хранилось в погребе изначально. Пусть \(y\) - количество мышей, которые пришли в первую ночь. В первую ночь мыши съели 4 головки сыра, и каждая мышь съела \(\frac{4}{y}\) головки сыра. Во вторую ночь пришли 11 мышей, и каждая съела в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть \(\frac{4}{2y} = \frac{2}{y}\) головки сыра. Они доели оставшийся сыр, то есть \(x - 4\) головки. Таким образом, можем записать уравнение: \[11 \cdot \frac{2}{y} = x - 4\] \[\frac{22}{y} = x - 4\] \[22 = y(x - 4)\] Так как \(x\) и \(y\) должны быть целыми числами, нужно найти делители числа 22. Возможные пары делителей (\(y\), \(x-4\)): (1, 22), (2, 11), (11, 2), (22, 1) Тогда возможные значения для \(x\): Если \(y = 1\), то \(x - 4 = 22\), следовательно \(x = 26\). Если \(y = 2\), то \(x - 4 = 11\), следовательно \(x = 15\). Если \(y = 11\), то \(x - 4 = 2\), следовательно \(x = 6\). Если \(y = 22\), то \(x - 4 = 1\), следовательно \(x = 5\). Теперь проверим каждое из решений: 1. Если \(x = 26\), то первая ночь: 1 мышь съела 4 головки. Вторая ночь: 11 мышей съели по 2 головки, и съели 22 головки. \(26 - 4 = 22\) - подходит. 2. Если \(x = 15\), то первая ночь: 2 мыши съели по 2 головки. Вторая ночь: 11 мышей съели по 1 головке, и съели 11 головок. \(15 - 4 = 11\) - подходит. 3. Если \(x = 6\), то первая ночь: 11 мышей съели по \(\frac{4}{11}\) головки. Вторая ночь: 11 мышей съели по \(\frac{2}{11}\) головки, и съели 2 головки. \(6 - 4 = 2\) - подходит. 4. Если \(x = 5\), то первая ночь: 22 мыши съели по \(\frac{4}{22} = \frac{2}{11}\) головки. Вторая ночь: 11 мышей съели по \(\frac{1}{11}\) головки, и съели 1 головку. \(5 - 4 = 1\) - подходит. Однако, так как в первую ночь все мыши съели поровну 4 головки, общее количество мышей \(y\) должно быть делителем числа 4. Это означает, что варианты \(y=11\) и \(y=22\) не подходят. Таким образом, рассматриваем только случаи, где \(x=26\) и \(x=15\). Так как в условии сказано, что в первую ночь мыши съели поровну, а их было ( y ), тогда ( y ) должно быть делителем 4. Поэтому у нас есть 2 варианта: * Если \(x = 26\) головок, то количество мышей \(y = 1\). Тогда 1 мышь съела 4 головки сыра. На второй день пришло 11 мышей и каждая съела по 2 головки. ( 26 - 4 = 22 ), что соответствует ( 11 cdot 2 = 22 ). * Если \(x = 15\) головок, то количество мышей \(y = 2\). Тогда 2 мыши съели по 2 головки сыра. На второй день пришло 11 мышей и каждая съела по 1 головке. ( 15 - 4 = 11 ), что соответствует ( 11 cdot 1 = 11 ). Оба варианта кажутся корректными, но часто в задачах подобного рода подразумевается более простое решение. Предположим, что мышей было 2, тогда в первую ночь каждая съела 2 головки, осталось 11 головок, а во вторую ночь 11 мышей съели по 1 головке. Однако, если мы предположим, что была только 1 мышь, тогда первая съела 4 головки, осталось 22 головки, а во вторую ночь 11 мышей съели по 2 головки. Оба ответа логичны. Но если предположить, что имеется ввиду наиболее простое решение, то ответом будет **15**. **Ответ: 15 головок сыра хранилось в погребе.**