Задание 12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка М – середина ребра АВ, S – вершина. Известно, что ВС = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

Ответ: 10

Пошаговое решение:

1. Обозначим сторону основания пирамиды как a, а апофему (высоту боковой грани) как h.
2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трех боковых граней. Поскольку все грани равны, площадь одной грани равна \(\frac{1}{3}\) площади боковой поверхности.
3. Площадь одной боковой грани: \[S_{грани} = \frac{1}{3} S_{бок} = \frac{1}{3} \cdot 45 = 15\]
4. Площадь боковой грани также можно выразить как половину произведения стороны основания на апофему: \[S_{грани} = \frac{1}{2} a h\]
5. Известно, что сторона основания a = BC = 3. Подставим это значение в формулу площади боковой грани: \[15 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot h\]
6. Решим уравнение относительно h: \[h = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10\] Таким образом, длина апофемы SM = h = 10.

Ответ: 10