Задание 4. В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ – медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 30.

Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Угол ABC равен 120°, следовательно, углы BAC и BCA равны: $$ \angle BAC = \angle BCA = (180° - 120°) / 2 = 30° $$.

Рассмотрим треугольник ABF. В нем угол BAF равен 90°, угол ABF равен углу ABC минус угол FBC. Поскольку BM - медиана в равнобедренном треугольнике, она также является биссектрисой. Значит, угол ABM равен половине угла ABC, т.е. 60°.

Угол FBC = углу ABC - углу ABF = 120 - 60 = 60°.

Тогда угол AFB = 180 - угол BAF - угол ABF = 180 - 90 - 60 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. $$ \angle BAM = 30° $$, $$ \angle ABM = 60° $$. Значит, $$ \angle AMB = 90° $$.

Треугольники ABM и FBM равны (по стороне BM и двум прилежащим углам). Следовательно, AM = FM.

AM = AB * cos(30°) = 30 * cos(30°). AM = 30/2 = 15.

Ответ: 15