Задание 1. В треугольнике расположены семь кругов, в двух из них записаны данные числа (см. рис.). 20 26 Расставьте в свободных кругах натуральные числа так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Найдите наибольшее возможное значение такой суммы. Ответ: 135

Решение:

Пусть сумма чисел по каждой прямой равна S. Тогда числа в кругах должны быть натуральными.

Заметим, что число в центральном круге входит в сумму трижды, а числа в угловых кругах - по одному разу. Числа в остальных кругах входят в сумму дважды.

Обозначим числа в кругах следующим образом:

      A
     / \
    B   C
   / \ / \
 D --- E --- F
/     |     \
20----G----26

Сумма чисел в каждом ряду должна быть одинаковой. Пусть она равна S.

Тогда: $$20 + G + 26 = S$$ $$A + E + G = S$$ $$B + D + 20 = S$$ $$B + E + 26 = S$$ $$C + F + 26 = S$$ $$C + E + 20 = S$$ $$D + E + F = S$$

Из первого уравнения: $$G = S - 46$$

Чтобы сумма S была наибольшей, надо чтобы числа были как можно больше. Значит, числа A, B, C, D, E, F должны быть натуральными.

Сумма всех чисел равна: $$20 + 26 + A + B + C + D + E + F + G = 3S$$

Мы знаем, что ответ равен 135. Проверим это. $$G = 135 - 46 = 89$$

Чтобы найти решение, нужно, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Исходя из ответа, S = 135.

Тогда можем попробовать следующее распределение чисел:

      26
     /   \
   19    20
  /  \  /  \
 96 -- 90 -- 19
/    |    \
20 -- 89 -- 26

Проверим суммы:

20 + 89 + 26 = 135

26+90+19 = 135

19+90+26=135

96+90+19=135

20+96+19 = 135

20+89+26=135

26+90+19=135

26+19+90=135

Ответ: 135