Задание 4: Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне \( h = 150 \) см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два с половиной раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть \( R_1 \) - радиус первого цилиндра, \( h_1 \) - высота воды в первом цилиндре. Пусть \( R_2 \) - радиус второго цилиндра, \( h_2 \) - высота воды во втором цилиндре. Дано: \( h_1 = 150 \) см, \( R_2 = 2.5 R_1 \) Объем воды в первом цилиндре: \[ V_1 = \pi R_1^2 h_1 \] Объем воды во втором цилиндре: \[ V_2 = \pi R_2^2 h_2 \] Так как объем воды не меняется при переливании, то \( V_1 = V_2 \). Следовательно: \[ \pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2 \] Подставим \( R_2 = 2.5 R_1 \): \[ \pi R_1^2 h_1 = \pi (2.5 R_1)^2 h_2 \] \[ \pi R_1^2 h_1 = \pi (6.25 R_1^2) h_2 \] Сократим на \( \pi R_1^2 \): \[ h_1 = 6.25 h_2 \] Выразим \( h_2 \): \[ h_2 = \frac{h_1}{6.25} \] Подставим значение \( h_1 = 150 \) см: \[ h_2 = \frac{150}{6.25} = 24 \] Ответ: 24 см. Развернутый ответ для школьника: В этой задаче нам нужно понять, как изменится уровень воды, когда мы переливаем её из одного цилиндрического сосуда в другой, у которого радиус больше. Важно помнить, что объем воды при этом не меняется. 1. Вспомним формулу объема цилиндра: Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту. Так как основание цилиндра - это круг, то площадь основания равна \( \pi R^2 \), где \( R \) - радиус основания. Значит, объем цилиндра \( V = \pi R^2 h \), где \( h \) - высота цилиндра. 2. Запишем объемы для обоих сосудов: * Для первого сосуда: \( V_1 = \pi R_1^2 h_1 \) * Для второго сосуда: \( V_2 = \pi R_2^2 h_2 \) 3. Учтем, что объем воды одинаковый: Так как мы просто переливаем воду, то \( V_1 = V_2 \). Значит, \( \pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2 \). 4. Используем условие про радиус: Нам сказали, что радиус второго сосуда в 2.5 раза больше радиуса первого, то есть \( R_2 = 2.5 R_1 \). Подставим это в наше уравнение: \( \pi R_1^2 h_1 = \pi (2.5 R_1)^2 h_2 \) 5. Упростим уравнение: \( \pi R_1^2 h_1 = \pi (6.25 R_1^2) h_2 \) Сократим обе части на \( \pi R_1^2 \): \( h_1 = 6.25 h_2 \) 6. Найдем новую высоту: Теперь выразим \( h_2 \) (новую высоту воды) через \( h_1 \) (начальную высоту воды): \( h_2 = \frac{h_1}{6.25} \) 7. Подставим значение: Нам известно, что \( h_1 = 150 \) см. Подставим это значение: \( h_2 = \frac{150}{6.25} = 24 \) см. Итак, уровень воды во втором сосуде будет 24 см.