Задание 4. Вычислить следующие пределы a) lim x->1 (x³-1)/(5x²-4x-1) б) lim x->1 (x²+6x+9)/(x²+3x)

a) \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{5x^2 - 4x - 1}\)

• Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.

Показать пошаговые вычисления

• \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\) (разность кубов)
• \(5x^2 - 4x - 1 = (x - 1)(5x + 1)\) (квадратный трехчлен)

• Шаг 2: Подставим разложение в предел:

\[\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(5x + 1)}\]

• Шаг 3: Сократим общий множитель \((x - 1)\):

\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{5x + 1}\]

• Шаг 4: Подставим \(x = 1\) в упрощенное выражение:

\[\frac{1^2 + 1 + 1}{5(1) + 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Ответ: 1/2

б) \(\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x}\)

• Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.

Показать пошаговые вычисления

• \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) (полный квадрат)
• \(x^2 + 3x = x(x + 3)\) (вынесение общего множителя)

• Шаг 2: Подставим разложение в предел:

\[\lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)^2}{x(x + 3)}\]

• Шаг 3: Сократим общий множитель \((x + 3)\):

\[\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{x}\]

• Шаг 4: Подставим \(x = -3\) в упрощенное выражение:

\[\frac{-3 + 3}{-3} = \frac{0}{-3} = 0\]

Ответ: 0