Задание 2. Вычислите определитель, разложив определитель по элементам -23-54 203-1 -1 2 4 0 второй строки - 31 2-1

Решим задание 2. Вычислим определитель, разложив определитель по элементам второй строки.

Для вычисления определителя разложением по элементам второй строки используем формулу:

$$det(A) = \sum_{j=1}^{4} a_{2j} \cdot C_{2j}$$, где $$a_{2j}$$ - элементы второй строки, $$C_{2j}$$ - алгебраические дополнения этих элементов.

Матрица имеет вид: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -5 & 4 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Вторая строка: 2, 0, 3, -1.

Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента второй строки:

1. Для элемента $$a_{21} = 2$$:

$$C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot M_{21}$$, где $$M_{21}$$ - минор, полученный удалением второй строки и первого столбца. $$M_{21} = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (4 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) - (-5) \cdot (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + 4 \cdot (2 \cdot 2 - 4 \cdot 1) = 3 \cdot (-4) + 5 \cdot (-2) + 4 \cdot (0) = -12 - 10 + 0 = -22$$ $$C_{21} = (-1)^{3} \cdot (-22) = -1 \cdot (-22) = 22$$

2. Для элемента $$a_{22} = 0$$:

$$C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot M_{22}$$, где $$M_{22}$$ - минор, полученный удалением второй строки и второго столбца. $$M_{22} = \begin{vmatrix} -2 & -5 & 4 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 \cdot (4 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) - (-5) \cdot (-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 3) + 4 \cdot (-1 \cdot 2 - 4 \cdot 3) = -2 \cdot (-4) + 5 \cdot (1) + 4 \cdot (-2 - 12) = 8 + 5 + 4 \cdot (-14) = 13 - 56 = -43$$ $$C_{22} = (-1)^{4} \cdot (-43) = 1 \cdot (-43) = -43$$

3. Для элемента $$a_{23} = 3$$:

$$C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot M_{23}$$, где $$M_{23}$$ - минор, полученный удалением второй строки и третьего столбца. $$M_{23} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \cdot (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - 3 \cdot (-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 3) + 4 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot (1) + 4 \cdot (-1 - 6) = 4 - 3 + 4 \cdot (-7) = 1 - 28 = -27$$ $$C_{23} = (-1)^{5} \cdot (-27) = -1 \cdot (-27) = 27$$

4. Для элемента $$a_{24} = -1$$:

$$C_{24} = (-1)^{2+4} \cdot M_{24}$$, где $$M_{24}$$ - минор, полученный удалением второй строки и четвертого столбца. $$M_{24} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \cdot (2 \cdot 2 - 4 \cdot 1) - 3 \cdot (-1 \cdot 2 - 4 \cdot 3) + (-5) \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = -2 \cdot (4 - 4) - 3 \cdot (-2 - 12) - 5 \cdot (-1 - 6) = -2 \cdot (0) - 3 \cdot (-14) - 5 \cdot (-7) = 0 + 42 + 35 = 77$$ $$C_{24} = (-1)^{6} \cdot (77) = 1 \cdot 77 = 77$$

Теперь вычислим определитель: $$det(A) = 2 \cdot 22 + 0 \cdot (-43) + 3 \cdot 27 + (-1) \cdot 77 = 44 + 0 + 81 - 77 = 48$$

Ответ: 48