Задание 57. Заполните таблицу (пункты 1-11).

Решение: Вспомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть, если медиана AA₁ пересекается с другими медианами в точке O, то AO : OA₁ = 2 : 1. Используем это соотношение, чтобы заполнить таблицу: 1) Если AA₁ = 15, тогда AO + OA₁ = 15. Также, AO = 2 * OA₁. Подставляем в первое уравнение: 2 * OA₁ + OA₁ = 15 => 3 * OA₁ = 15 => OA₁ = 5. Тогда AO = 2 * 5 = 10. 2) Если AO₁ = 12, тогда AO = 2 * AO₁ = 2 * 12 = 24. 3) Если AA₁ = 21, тогда AO + OA₁ = 21. AO = 2 * OA₁. Подставляем: 2 * OA₁ + OA₁ = 21 => 3 * OA₁ = 21 => OA₁ = 7. Тогда AO = 2 * 7 = 14. 4) Если AO₁ = 6, тогда AO = 2 * AO₁ = 2 * 6 = 12. 5) Если AO₁ = 5, тогда AO = 2 * AO₁ = 2 * 5 = 10. AA₁ = AO + OA₁ = 10 + 5 = 15 6) Если AO₁ = 3, тогда AO = 2 * AO₁ = 2 * 3 = 6. AA₁ = AO + OA₁ = 6 + 3 = 9 7) Если AO = 1/3, тогда OA₁ = AO / 2 = (1/3) / 2 = 1/6. AA₁ = AO + OA₁ = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 8) Если AO = √7, тогда AO₁ = √7 / 2. AA₁ = AO + AO₁ = √7 + √7/2 = (2√7 + √7)/2 = (3√7)/2 9) Если AO = 4, тогда AO₁ = AO/2 = 4/2 = 2, AA₁ = AO+AO₁ = 4+2 = 6 10) Если AO = 6, тогда AO₁ = AO/2 = 6/2 = 3, AA₁ = AO+AO₁ = 6+3 = 9 11) Если AO = 2√3, тогда AO₁ = AO/2 = 2√3/2 = √3, AA₁ = AO + AO₁ = 2√3 +√3 = 3√3 Ответ: | | AA₁ | AO₁ | AO | |---:|:-----------|:-----------|:-----------| | 1) | 15 | 5 | 10 | | 2) | 36 | 12 | 24 | | 3) | 21 | 7 | 14 | | 4) | 18 | 6 | 12 | | 5) | 15 | 5 | 10 | | 6) | 9 | 3 | 6 | | 7) | 1/2 | 1/6 | 1/3 | | 8) | (3√7)/2 | √7/2 | √7 | | 9) | 6| 2 | |4 | |10) | 9 | 3| 6 | | |11) | 3√3 |√3|2√3 | Развернутый ответ: Для решения задачи нам понадобилось знание свойства медиан треугольника: они пересекаются в одной точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что отрезок медианы от вершины до точки пересечения в два раза больше, чем отрезок от точки пересечения до середины противоположной стороны. Мы использовали это знание и алгебраические преобразования для нахождения неизвестных значений длин отрезков медиан.