Задание 008. Есть 12 гирь массами 1, 2, 3, …, 12 кг. Одну гирю убрали, а остальные распределили между четырьмя коробками так, что общая масса гирь в каждой коробке оказалась одинаковой. Какую самую тяжёлую гирю можно было убрать?

Сумма масс всех гирь равна 1 + 2 + ⋯ + 12 = 78 кг. Если убрать гирю массой x кг, оставшиеся гири должны разделиться на четыре равные по массе группы. Поэтому (78 − x) должно делиться на 4.

Так как 78 при делении на 4 даёт остаток 2, масса убранной гири должна давать остаток 2 при делении на 4. Среди масс от 1 до 12 это гири 2, 6 и 10 кг. Наибольший кандидат — 10 кг.

Проверим, что оставшиеся гири действительно можно распределить поровну: каждой коробке должно достаться (78 − 10) ÷ 4 = 17 кг. Подходит, например, такое распределение: 5 + 12 = 17; 6 + 11 = 17; 7 + 10 = 17; 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18 — этот набор не подходит. Переставим гири: 1 + 4 + 12 = 17; 2 + 3 + 12 не подходит, поскольку гиря 12 уже использована. В действительности возможное распределение: (5 + 12), (6 + 11), (7 + 10), (1 + 2 + 3 + 4 + 8), но последняя сумма равна 18, значит распределение неравное.

Проверим невозможность для 10 кг: среди оставшихся гирь требуется собрать четыре группы по 17 кг. Гирю 12 можно объединить только с 5, поскольку пары 12+1, …, 12+4 дают меньше 17, а 12+6 и больше превышают 17. Аналогично гири 11 и 6 составляют 17, гири 10 и 7 составляют 17; остаются 1, 2, 3, 4, 8, чья сумма 18. Значит, 10 кг убрать нельзя.

Следующий кандидат — 6 кг. Тогда в каждой коробке должно быть (78 − 6) ÷ 4 = 18 кг. Распределение возможно: (12 + 5 + 1), (11 + 7), (10 + 8), (9 + 4 + 3 + 2). В каждой группе сумма равна 18 кг.

Ответ: 6 кг.