Задание 1 (16 баллов). Дан куб ABCDEFGH. На середине ребра AE отмечена точка K. Найдите косинус угла между прямыми DK и FG.

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(D(0,a,0)\), \(E(0,0,a)\). Тогда \(F(a,0,a)\), \(G(a,a,a)\), а поскольку K — середина AE, \(K(0,0,\frac{a}{2})\).

1. Направляющий вектор прямой DK: \(\overrightarrow{DK}=(0,-a,\frac{a}{2})\).
2. Направляющий вектор прямой FG: \(\overrightarrow{FG}=(0,a,0)\). Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому можно заменить его на противоположный вектор \((0,-a,0)\).
3. Используем формулу косинуса угла между направляющими векторами: \(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{DK}\cdot(0,-a,0)|}{|\overrightarrow{DK}|\cdot a}\). Скалярное произведение равно \(a^2\), а \(|\overrightarrow{DK}|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).
4. Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{a^2}{(a\sqrt{5}/2)a}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).