Задание 1 (7 класс). Пётр хочет украсить открытку узором, который увидел на рисунке (рис. 426). Он испытывает затруднения с выполнением узора, не зная с чего начать. Единственное, что он понял, что окружности на рисунке как-то связаны. 1. Выразите радиусы всех окружностей через п, если диаметр большой окружности п см. 2. Опишите последовательность построений Петра, которые он должен выполнить для получения узора. 3. Перенесите рисунок на лист бумаги. 4. Предложите свой узор, состоящий из различных окружностей.

Решение:

1. Выражение радиусов:

• Диаметр большой окружности равен п см.
• Радиус большой окружности равен половине диаметра, то есть п/2 см.
• На рисунке видно, что каждая следующая окружность вписана в сегмент, образованный двумя предыдущими окружностями, и её диаметр равен радиусу предыдущей окружности.
• Радиус второй окружности = (диаметр второй окружности)/2 = (п/2)/2 = п/4 см.
• Радиус третьей окружности = (диаметр третьей окружности)/2 = (п/4)/2 = п/8 см.
• Таким образом, радиус n-й окружности равен п / 2ⁿ см.

2. Последовательность построений:

1. Начертить большую окружность с диаметром п см.
2. Найти центр большой окружности.
3. Провести два диаметра под углом 90 градусов друг к другу.
4. Внутри одного из полученных квадрантов начертить окружность, диаметр которой равен радиусу большой окружности.
5. Повторить построение в других квадрантах, используя как основу предыдущие окружности, чтобы получить узор, как на рисунке 426.

3. Перенос рисунка:

• Для переноса рисунка на лист бумаги можно использовать копировальную бумагу или метод клетки.

4. Предложение узора:

• Можно создать узор из концентрических окружностей разного радиуса.
• Другой вариант — спиральный узор, созданный из дуг окружностей.

Ответ: Радиосы окружностей равны п/2, п/4, п/8 и т.д. Последовательность построений включает в себя черчение окружностей с уменьшающимися диаметрами, используя предыдущие как основу.