Задание 1. а) Решите уравнение \(16\sin x-5=8\sin 2x-5\cos x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{11\pi}{2};-4\pi\right]\).

а) Перенесём все слагаемые в левую часть и используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(16\sin x-5-16\sin x\cos x+5\cos x=0.\)

Сгруппируем слагаемые:

\((1-\cos x)(16\sin x-5)=0.\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. \(1-\cos x=0\), поэтому \(x=2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
2. \(16\sin x-5=0\), поэтому \(\sin x=\frac{5}{16}\) и \(x=\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Общее решение: \(x=2\pi k\), или \(x=\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\), или \(x=\pi-\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Для промежутка \(\left[-\frac{11\pi}{2};-4\pi\right]\) из корней вида \(2\pi k\) подходит \(-4\pi\). Из корней, для которых \(\sin x=\frac{5}{16}\), в этот промежуток попадает \(-5\pi-\arcsin\frac{5}{16}\).

Ответ: а) \(x=2\pi k\), или \(x=\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\), или \(x=\pi-\arcsin\frac{5}{16}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-5\pi-\arcsin\frac{5}{16}\) и \(-4\pi\).